必要な知識
- 逆関数についての基本的な性質（詳細）
- 三角関数
- 弧度法
- 弧度法
2015年3月15日日曜日
2015年3月7日土曜日
∫f(cos x) dx = ∫f(sin x) dx (0～π/2)の証明
$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ において連続な関数$f$について
\begin{equation}
\int_{0}^{\pi/2} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\pi/2} f(\cos x) dx
\end{equation}
が成立します。これを証明します。高3生ならさほど難しくない証明なので、まずは自力でやってみてから、続きを読んでください。
必要な知識
- 三角関数の加法定理
- 高校数学程度の積分
\begin{equation}
\int_{0}^{\pi/2} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\pi/2} f(\cos x) dx
\end{equation}
が成立します。これを証明します。高3生ならさほど難しくない証明なので、まずは自力でやってみてから、続きを読んでください。
必要な知識
- 三角関数の加法定理
- 高校数学程度の積分
sin,cos,tan以外の三角比とそれらを結ぶ関係式の図
高校でならう三角比は次のような三角形において
\begin{eqnarray*}
\sin \theta &=& \frac{b}{c} \\
\cos \theta &=& \frac{a}{c} \\
\tan \theta &=& \frac{b}{a}
\end{eqnarray*}
と定義される3つで、上から順に、正弦、余弦、正接などと呼ばれます。
しかし、直角三角形の辺の長さの比のとり方はこれ以外にもあります。
2015年3月4日水曜日
sinのn乗、cosのn乗の積分
高校の教科書によっては載っている内容ですが、便利なのでここでも紹介します。$n$を自然数として
\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/2} \sin^nx dx
=
\begin{cases} \frac{n-1}{n} × \frac{n-3}{n-2} \dots ×\frac{3}{4} ×\frac{1}{2}×\frac{\pi}{2} (nが偶数)& \\
\frac{n-1}{n} × \frac{n-3}{n-2} \dots ×\frac{4}{5} ×\frac{2}{3}×1 (nが奇数)&
\end{cases}\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/2} \sin^nx dx
=
\begin{cases} \frac{n-1}{n} × \frac{n-3}{n-2} \dots ×\frac{3}{4} ×\frac{1}{2}×\frac{\pi}{2} (nが偶数)& \\
\frac{n-1}{n} × \frac{n-3}{n-2} \dots ×\frac{4}{5} ×\frac{2}{3}×1 (nが奇数)&
\end{cases}\end{eqnarray*}
Machinの公式の証明
Marchinの公式
\begin{equation*}
\frac{\pi}{4} = 4 \tan^{-1} \frac{1}{5} - \tan^{-1} \frac{1}{239}
\end{equation*}
を証明します。
ここで、$\tan^{-1} x$は、$\tan x$の逆数ではなく、逆関数を意味します。逆関数についてはこちらの記事を参考にしてください（クリック！）。
すなわち、
\begin{equation*}
y = \tan^{-1} x \Leftrightarrow x = \tan y
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{\pi}{4} = 4 \tan^{-1} \frac{1}{5} - \tan^{-1} \frac{1}{239}
\end{equation*}
を証明します。
ここで、$\tan^{-1} x$は、$\tan x$の逆数ではなく、逆関数を意味します。逆関数についてはこちらの記事を参考にしてください（クリック！）。
すなわち、
\begin{equation*}
y = \tan^{-1} x \Leftrightarrow x = \tan y
\end{equation*}
です。なお、$\tan^{-1} x$は主値をとるものとします。
必要な知識
- $\tan$の逆関数について（詳細）
- $\tan$の加法定理や倍角の式
sinx+sin2x+sin3x+…+sin(nx)=?
$\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \dots + \sin nx $と計算していくと、以下のようになることが知られている。
\begin{align}
\sum_{k=1}^n \sin k\theta = \frac{\sin \frac{n \theta}{2} \sin \frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} \end{align}
ここでは、
\begin{align}
\sum_{k=0}^n \cos k\theta = \frac{\cos \frac{n \theta}{2} \sin \frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} \end{align}
とあわせて証明してみよう。
必要な知識
- 等比数列の和の公式、総和の扱い方など数学Bの「数列」で学習する一通りの知識
- 三角関数の倍角、和積、積和公式など数学IIの「三角関数」にある基本的な公式
- オイラーの公式
証明の指針
\begin{align}
\sum_{k=1}^n \sin k\theta = \frac{\sin \frac{n \theta}{2} \sin \frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} \end{align}
ここでは、
\begin{align}
\sum_{k=0}^n \cos k\theta = \frac{\cos \frac{n \theta}{2} \sin \frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} \end{align}
とあわせて証明してみよう。
必要な知識
- 等比数列の和の公式、総和の扱い方など数学Bの「数列」で学習する一通りの知識
- 三角関数の倍角、和積、積和公式など数学IIの「三角関数」にある基本的な公式
- オイラーの公式
証明の指針
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