sinのn乗、cosのn乗の積分

高校の教科書によっては載っている内容ですが、便利なのでここでも紹介します。$n$を自然数として

\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/2} \sin^nx dx
=
\begin{cases} \frac{n-1}{n} × \frac{n-3}{n-2} \dots ×\frac{3}{4} ×\frac{1}{2}×\frac{\pi}{2}　(nが偶数)& \\
\frac{n-1}{n} × \frac{n-3}{n-2} \dots ×\frac{4}{5} ×\frac{2}{3}×1　(nが奇数)&
\end{cases}\end{eqnarray*}

が成立することが知られています。これを証明してみましょう。
また、この記事の最後では、二重階乗を使って上の公式を表記してみます。

必要な知識
- 三角関数の微積分
- 漸化式の扱い




\begin{eqnarray*} I_n=\int_0^{\pi/2} \sin^nx dx \end{eqnarray*}
と定義する。$n=0,n=1$のときは、それぞれ、
\begin{eqnarray*}
I_0 &=& \int_0^{\pi/2} dx = \frac{\pi}{2} \\
I_1 &=& \int_0^{\pi/2} \sin x dx = 1
\end{eqnarray*}
と計算される。







$n \geq 2$について考える。
\begin{eqnarray*}

I_n &=& \int_0^{\pi/2} sin^nx dx = \int_0^{\pi/2} sin^{n-1}x \sin x dx \\

&=& \left[ -\sin^{n-1}x \cos x \right]^{\pi/2}_0 + (n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{n-2}x \cos^2x dx \\

&=& 0 + (n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{n-2}x (1-\sin^2x) dx \\

&=& (n-1) \left( \int_0^{\pi/2} \sin^{n-2}x dx - \int_0^{\pi/2} \sin^nx dx \right) \\


&=& (n-1) (I_{n-2}-I_n)

\end{eqnarray*}

よって、次の漸化式が成立する。
\begin{eqnarray*}

I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}

\end{eqnarray*}

これは、$n$が偶数であれば、

\begin{eqnarray*}

I_n &=& \frac{n-1}{n} I_{n-2} \\
&=& \frac{n-1}{n} ×\frac{n-3}{n-2} I_{n-4} \\
&=& \frac{n-1}{n} ×\frac{n-3}{n-2} × \frac{n-5}{n-4} I_{n-6} \\
&=& \frac{n-1}{n} ×\frac{n-3}{n-2} × \frac{n-5}{n-4} ×　\dots × \frac{3}{4} ×\frac{1}{2} I_0

\end{eqnarray*}


であり、$n$が奇数であれば、


\begin{eqnarray*}

I_n &=& \frac{n-1}{n} I_{n-2} \\
&=& \frac{n-1}{n} ×\frac{n-3}{n-2} I_{n-4} \\
&=& \frac{n-1}{n} ×\frac{n-3}{n-2} × \frac{n-5}{n-4} I_{n-6} \\
&=& \frac{n-1}{n} ×\frac{n-3}{n-2} × \frac{n-5}{n-4} ×　\dots × \frac{4}{5} ×\frac{2}{3} I_1

\end{eqnarray*}

となり、たしかに

\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/2} \sin^nx dx
=
\begin{cases} \frac{n-1}{n} × \frac{n-3}{n-2} \dots ×\frac{3}{4} ×\frac{1}{2}×\frac{\pi}{2}　(nが偶数)& \\
\frac{n-1}{n} × \frac{n-3}{n-2} \dots ×\frac{4}{5} ×\frac{2}{3}×1　(nが奇数)&
\end{cases}\end{eqnarray*}

を満たす。

なお、連続で微分可能な関数$f$において

\begin{eqnarray*}

\int_0^{\pi/2} f(\cos x) dx = \int_0^{\pi/2} f(\sin x) dx

\end{eqnarray*}

が知られているため（証明別記事）、

\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/2} \sin^nx dx　&=&  \int_0^{\pi/2} \cos^nx dx \\ &=&
\begin{cases} \frac{n-1}{n} × \frac{n-3}{n-2} \dots ×\frac{3}{4} ×\frac{1}{2}×\frac{\pi}{2}　(nが偶数)& \\
\frac{n-1}{n} × \frac{n-3}{n-2} \dots ×\frac{4}{5} ×\frac{2}{3}×1　(nが奇数)&
\end{cases}\end{eqnarray*}

である。

この公式は非常に便利。例えば、

\begin{eqnarray*}
\int_0^{\pi/2} \sin^6x dx = \frac{5}{6} ×\frac{3}{4} ×\frac{1}{2} ×\frac{\pi}{2} = \frac{5}{32} \pi
\end{eqnarray*}

となるが、この公式を用いずに積分するとなると、なかなか面倒である。

二重階乗を用いた表現

他の記事で二重階乗の扱いを説明した（詳細：クリック）。これを用いれば、

\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/2} \sin^nx dx
=
\begin{cases} \frac {(n-1)!!}{n!!} \frac{\pi}{2}　(nが偶数)& \\
\frac {(n-1)!!}{n!!} 　(nが奇数)&
\end{cases}\end{eqnarray*}
と書き直せる。

あとでガウス積分を高校生の知識のみで理解する（詳細：クリック）ために必要なので、次のように書きなおしておく。

先日の記事にかいた二重階乗を一重階乗に変換する定理（詳細）

\begin{eqnarray*}
(2n)!!&=&2^nn! \\
(2n-1)!!&=&\frac{(2n)!}{2^nn!} \\
\end{eqnarray*}
を思い出して、次のように書きかえておく。

\begin{eqnarray}
I_{2n} &=& \frac{(2n-1)!!}{2n!!} \frac{\pi}{2} = \frac{1}{2^nn!} \frac{(2n)!}{2^nn!}\frac{\pi}{2} = \frac{(2n)!}{(2^nn!)^2} \frac{\pi}{2} \\ \nonumber \\　
I_{2n-1}&=&\frac{(2n-1-1)!!}{(2n-1)!!}=\frac{(2n-2)!!}{\frac{(2n)!}{2^nn!}}=2^nn!\frac{(2n-2)!!}{(2n)!}　\nonumber \\
&=& 2^nn! \frac{(2n-2)×(2n-4)×(2n-6)×\dots}{2n×(2n-1)×(2n-2)×(2n-3)×(2n-4)×\dots}　\nonumber \\
&=& 2^nn! \frac{1}{2n} \frac{1}{(2n-1)!!} \nonumber \\
&=& 2^nn! \frac{2^nn!}{2n} \frac{1}{(2n!)} \nonumber \\
&=& \frac{(2^nn!)^2}{2n(2n)!}
\end{eqnarray}