負の整数の多重階乗について（ガンマ関数不要）

先日の記事では、$0!=1,0!!=1$など、0のn重階乗が0と定義される理由を説明しました（詳細）が、この考え方を応用して、負の整数の多重階乗が理解できます。つまり、

\begin{equation*}
(-1)!!,(-4)!!!
\end{equation*}
などが定義できるということです。なお、(-2)!や(-1)!が発散することも本稿で確認します。

必要な知識
- n重階乗について（詳細）
- 0のn重階乗について（詳細)
- 高校で学習する程度の極限

0! = 1 の理由と0のn重階乗(0!,0!!,0!!! …)

階乗の定義に際して、\begin{equation*}
0! = 1
\end{equation*}

が約束されています。この理由は何でしょうか。また、

\begin{equation*}
0!!
\end{equation*}

はいくつになるのでしょうか。

必要な知識

- 階乗の定義

- 組み合わせ ${}_n \mathrm{C} _r$ の計算方法