tag:blogger.com,1999:blog-33273975459727821212024-03-29T20:02:49.978+09:00高校数学の発展高校生までの知識で分かる数学のコラムを紹介。Unknownnoreply@blogger.comBlogger44125tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-13384861922893381622015-03-17T12:20:00.002+09:002015-10-25T10:28:28.891+09:00方程式z^n=rと複素平面―複素平面上に正多角形が現れる―今回は自然数$n$と複素数$z$、それから実数$r$について<br />
\begin{equation*}<br />
z^n=r<br />
\end{equation*}<br />
という$z$の関する方程式を考えます。<br />
<br />
実はこの解を複素平面上にプロットすると面白いことが起こります。<br />
複素平面の復習は<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/blog-post_12.html">こちら</a><br />
<br />
必要な知識<br />
- 複素平面(<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/blog-post_12.html">詳細</a>)<br />
- 複素数範囲での因数分解<br />
<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
<br />
以下では、因数分解の公式<br />
\begin{eqnarray*}<br />
a^3+b^3 &=& (a+b)(a^2-ab+b^2) \\<br />
a^3-b^3 &=& (a-b)(a^2+ab+b^2)<br />
\end{eqnarray*}<br />
を断りなしに用いる。この公式を知らない人は右辺を展開して左辺になることを確かめよ。<br />
<br />
以下、簡単のために、$r=1$として考える。まずは、$n=3$の場合を見てみよう。与えられた方程式は、<br />
\begin{eqnarray*}<br />
&& z^3=1\\<br />
\Leftrightarrow && z^3-1=0 \\<br />
\Leftrightarrow && (z-1)(z^2+z+1)=0<br />
\end{eqnarray*}<br />
となり、解の公式を用いて、<br />
\begin{eqnarray*}<br />
z=1,\frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}<br />
\end{eqnarray*}<br />
となる。これを複素平面上にプロットすれば、<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0xUn996cbpUm0ZKFsK3ALFkU6lFhuV7LP81z5Z7bDQ_8zajQl1FNwF8nUbDgQHwFr4SlfXS4nSxiqr4mBcftBAc5MHhN2Talofn007yDwo3TmqKE4Dq1-luoCA3PK7ylLiQ95_lVn7Pq3/s1600/im1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0xUn996cbpUm0ZKFsK3ALFkU6lFhuV7LP81z5Z7bDQ_8zajQl1FNwF8nUbDgQHwFr4SlfXS4nSxiqr4mBcftBAc5MHhN2Talofn007yDwo3TmqKE4Dq1-luoCA3PK7ylLiQ95_lVn7Pq3/s1600/im1.png" height="390" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
となる。赤い線は半径1の複素平面上の円である。青いプロットが、$z=1,\frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$の三点である。さて、この青いプロットを線でつなぐと</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgmfgjNEju86d6SIE9SGHI5-KFYlfh_PCDF5uzpKLqSbT-lsg6nX9giPFMfGaDpgS5eQKzvL2uua2bTPlJ3FOz92r3TJHimJajJicl9B2txP-uNTOUBSHxDMg6-XtYO9pM8E_qRw_P1j757/s1600/im1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgmfgjNEju86d6SIE9SGHI5-KFYlfh_PCDF5uzpKLqSbT-lsg6nX9giPFMfGaDpgS5eQKzvL2uua2bTPlJ3FOz92r3TJHimJajJicl9B2txP-uNTOUBSHxDMg6-XtYO9pM8E_qRw_P1j757/s1600/im1.png" height="390" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
という、半径1の円に内接する正三角形が現れる。次に、$n=4$の場合を見てみよう。</div>
\begin{eqnarray*}<br />
&& z^4=1\\<br />
\Leftrightarrow && z^4-1=0 \\<br />
\Leftrightarrow && (z^2-1)(z^2+1)=0 \\<br />
\Leftrightarrow && (z-1)(z+1)(z-i)(z+i)=0<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
よって$z=\pm1,\pm i$であり、同様に複素平面上にプロットして線でつなぐと</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIA_ZtOnvudMMBeHpnSSD6Sscr01Q6e3IoA3THQZV9OCI8ytteNv3oF6tpyoNrY_l85hszCjv6XTMMByd02wUuULFm4n2SxNykihr2DHGMcMAxchj6a_3m9UbVz3_0EBtFuGHId4aAyRuT/s1600/imim3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIA_ZtOnvudMMBeHpnSSD6Sscr01Q6e3IoA3THQZV9OCI8ytteNv3oF6tpyoNrY_l85hszCjv6XTMMByd02wUuULFm4n2SxNykihr2DHGMcMAxchj6a_3m9UbVz3_0EBtFuGHId4aAyRuT/s1600/imim3.png" height="389" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
という、半径1の円に内接する四角形が現れる。次に、$n=6$の場合を見てみよう。</div>
\begin{eqnarray*}<br />
&& z^6=1\\<br />
\Leftrightarrow && z^6-1=0 \\<br />
\Leftrightarrow && (z^3-1)(z^3+1)=0 \\<br />
\Leftrightarrow && (z-1)(z+1)(z^2-z+1)(z^2+z+1)=0<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
解の公式を用いて、$z=\pm 1, \frac{\pm 1 \pm \sqrt{3}i}{2}$(複合任意)これらをプロットして直線を引けば、</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhU4_AWpnH-SBqjxi2MST-1U37a6n0WLUZ6iegMeGtNLxcMBpnADjHFgJWty-cocm7ODkPZD7draJz00D2s7XPjRnpVlhk1ZXHLX_ZUxxEJXcEVdbieIe84_LIrSIJzUTsIDPtEDQFgSI4/s1600/imim3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhU4_AWpnH-SBqjxi2MST-1U37a6n0WLUZ6iegMeGtNLxcMBpnADjHFgJWty-cocm7ODkPZD7draJz00D2s7XPjRnpVlhk1ZXHLX_ZUxxEJXcEVdbieIe84_LIrSIJzUTsIDPtEDQFgSI4/s1600/imim3.png" height="388" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
と正六角形が現れる。</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
このように、<span style="color: red;"><b>zに関する方程式$z^n=r$の解を複素平面上にプロットすると、半径|r|の円に</b></span><span style="color: red;"><b>内接する正$n$角形になる</b></span>。これを応用して、因数分解をすることなしに解がいくつになるか探し求めることができる。</div>
<br />
たとえば$z^8=1$という方程式は複素平面上の半径1の円に内接する正8角形であるから、計算するまでもなく、解をプロットすると、<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8FwfFXPJcT99z5qKysIz85BamvolsGn51_EDO12wiKUgRH13x_TZgx7hBvUpSmZG0QV-zCDOqKBAqRmr793Q07Q1nSb6D7LXh-3vhWfHOegF-jnwzgzQtIFK2u6IL96o-Bsd-nTweDG-I/s1600/imim3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8FwfFXPJcT99z5qKysIz85BamvolsGn51_EDO12wiKUgRH13x_TZgx7hBvUpSmZG0QV-zCDOqKBAqRmr793Q07Q1nSb6D7LXh-3vhWfHOegF-jnwzgzQtIFK2u6IL96o-Bsd-nTweDG-I/s1600/imim3.png" height="311" width="320" /></a></div>
<br />
となることが分かる。<br />
<br />
このことのきちんとした証明はオイラーの公式や極形式を導入することで簡単にすることができる。<br />
<br />
<h2>
<span style="font-size: large;">
研究</span></h2>
<br />
$r$が負の時も同じように<span style="color: red;">半径|r|に内接する正$n$角形になることを納得せよ。</span><br />
<br />
<br />Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-43475464763570944162015-03-16T22:23:00.002+09:002016-02-07T13:36:26.905+09:00相反方程式の解法次のような方程式を<b>相反方程式</b>や<b>逆数方程式</b>と呼びます。<br />
\begin{eqnarray*}<br />
5x^4+4x^3+3x^2+4x+5&=&0 \\<br />
7x^5+8x^4+3x^3+3x^2+8x+7&=&0<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
上から順に、4次,5次の相反方程式です。係数が左右対称になっています。</div>
<div>
もちろん、より次数の高い相反方程式も存在します。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
実はこの相反方程式、高次であっても比較的簡単に解くことができます。本稿では相反方程式の解き方を学びます。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
必要な知識</div>
<div>
- 数と式</div>
<div>
- 二次方程式の解の公式</div>
<div>
- 整式のわり算</div>
<div>
- 因数定理</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<a name='more'></a></div>
<br />
<div>
<br /></div>
<h2>
<span style="font-size: large;">4次の相反方程式の解法</span></h2>
<div>
<br /></div>
<div>
一般の4次相反方程式</div>
\begin{eqnarray}<br />
Ax^4+Bx^3+Cx^2+Bx+ A = 0<br />
\end{eqnarray}<br />
<div>
を考える。ただし、$A \neq 0$である。両辺を$x^2$で割ると、</div>
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
Ax^2+Bx+C+\frac{B}{x}+\frac{A}{x^2} = 0<br />
\end{eqnarray*}</div>
<div>
となる。少し整理して、</div>
\begin{eqnarray}<br />
A\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+B\left(x+\frac{1}{x}\right)+C = 0<br />
\end{eqnarray}<br />
<div>
とかけば、なんだか</div>
\begin{eqnarray}<br />
t = x+\frac{1}{x}<br />
\end{eqnarray}<br />
<div>
とおきたくなる。というのも、これを二乗すれば、</div>
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
t^2 = x^2+\frac{1}{x^2}+2x\frac{1}{x} = x^2 + \frac{1}{x^2}+2<br />
\end{eqnarray*}</div>
<div>
より、</div>
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2<br />
\end{eqnarray*}</div>
<div>
であるから、式(2)は</div>
<div>
\begin{eqnarray}<br />
A\left(t^2-2\right)+Bt+C = 0<br />
\end{eqnarray}</div>
<div>
となるからだ。これは$t$に関する2次方程式であり解の公式を用いれば、ただちに$t$は求まる。あとは、式(3)に代入して$x$を求めればよい。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
例 4次方程式$x^4+3x^3-2x^2+3x+1=0$の実数解を求めよ。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
この方程式は明らかに相反方程式であるから、両辺を$x^2$で割って、</div>
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+3\left(x+\frac{1}{x}\right)-2 = 0<br />
\end{eqnarray*}</div>
<div>
となる。ここで、</div>
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
t = x+\frac{1}{x}<br />
\end{eqnarray*}</div>
<div>
と置けば、</div>
\begin{eqnarray*}<br />
&& (t^2-2)+3t-2=0 \\<br />
\Leftrightarrow && (t+4)(t-1)= 0 \\<br />
\Leftrightarrow && t= -4, 1<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
となる。</div>
<div>
$t=-4$のとき、</div>
\begin{eqnarray*}<br />
&& -4 = x+\frac{1}{x} \\<br />
\Leftrightarrow && x^2 + 4x + 1 = 0 \\<br />
\Leftrightarrow && x = -2 \pm \sqrt{3}<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
<br /></div>
<div>
$t=1$のとき、</div>
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
&& 1 = x+\frac{1}{x} \\<br />
\Leftrightarrow && x^2 -x + 1= 0 \\<br />
\end{eqnarray*}</div>
<div>
この2次方程式は実数解をもたないから、答えは、$ x = -2 \pm \sqrt{3}$である。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<h2>
<span style="font-size: large;">5次の相反方程式の解法</span></h2>
</div>
<div>
<div>
一般の5次相反方程式</div>
\begin{eqnarray}<br />
Ax^5+Bx^4+Cx^3+Cx^2+ Bx + A = 0<br />
\end{eqnarray}<br />
<div>
を考える。ただし、$A \neq 0$である。この方程式は$x=-1$を必ず解に持つ。因数定理を思い出せば、式(5)は$(x+1)$で必ず割れるはずであり、実際に整式のわり算を行うと</div>
</div>
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
(x+1)\left\{Ax^4+(B-A)x^3+(C-B+A)x^2+(B-A)x+A \right\}= 0<br />
\end{eqnarray*}</div>
<div>
となっていることが分かる(因数定理が分からない人はこの式を展開して式(5)になることを確かめよ)。左辺に現れた2つ目の因数は4次の相反方程式となっているので、前節の方法で解くことができる。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<h2>
<span style="font-size: large;">より高次な相反方程式の解法</span></h2>
</div>
<div>
たとえば、6次の相反方程式</div>
\begin{equation*}<br />
x^6+2x^5+3x^4+2x^3+3x^2+2x+1=0<br />
\end{equation*}<br />
<div>
は両辺を$x^3$でわり、整理すれば、</div>
<div>
\begin{equation}<br />
\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)+2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+3\left(x+\frac{1}{x}\right)+2=0<br />
\end{equation}</div>
<div>
となる。ここで、</div>
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
t = x+\frac{1}{x}<br />
\end{eqnarray*}</div>
<div>
とおけば、</div>
\begin{equation*}<br />
x^2+\frac{1}{x^2} = t^2-2 \\<br />
x^3+\frac{1}{x^3} = t^3-3t<br />
\end{equation*}<br />
<div>
である。ただし、$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$を用いた。これらを代入して、tに関する3次方程式に帰着できる(このtに関する3次方程式は高校の知識だけでは解けないので注意)。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
このように<span style="color: red;"><b>2n次の相反方程式は両辺を$x^n$乗で割ることで、より低次の方程式に帰着できる</b></span>。</div>
<div>
<br />
<div>
一方、<b><span style="color: red;">(2n+1)次の相反方程式は必ず$(x+1)$を因数にもつ</span></b>。奇数次の相反方程式を$(x+1)$でわって2n次の相反方程式がでてきたら、あとは上で紹介したように$x^n$乗で両辺を割ればよい。</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-34446981734575627072015-03-16T20:22:00.000+09:002015-10-25T10:28:28.951+09:00連立方程式の解の公式中学では2次方程式の解の公式を学習します。3次や4次の代数方程式の解の公式を知っている人も居ると思います。<br />
<br />
今回は、<span style="color: red;"><b>2元1次連立方程式の解の公式</b></span>を求めます。<br />
<div>
<br />
必要な知識<br />
- 中学3年生までの数学<br />
<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
<br />
未知数が$n$個の連立方程式を$n$元連立方程式と呼ぶ。<br />
<br />
連立方程式の中には、<br />
\begin{eqnarray*} \begin{cases} 2x + 3y = 4 & \\ 4x + 6y = 8 & \end{cases} \end{eqnarray*}<br />
のように解が無数にあるもの(不定という)や、<br />
\begin{eqnarray*} \begin{cases} 12x + 3y = 1 & \\ 4x + y = 2 & \end{cases} \end{eqnarray*}<br />
のように解がもとまらないもの(不能という)もあるが、今回は、こうした連立方程式については考えない。<br />
<br />
さて、2元1次連立方程式<br />
\begin{eqnarray} \begin{cases} ax + by = c & \\ dx + ey = f & \end{cases} \end{eqnarray}<br />
は解がきちんと定まる連立方程式であるとする。この方程式は、<br />
\begin{eqnarray} \begin{cases} adx + bdy = cd & \\ adx + aey = af & \end{cases} \end{eqnarray}<br />
と書き直せて、辺々を引けば、<br />
\begin{eqnarray*}<br />
(bd-ae)y = cd - af<br />
\end{eqnarray*}<br />
が求まる。$y$について解けば(注1)、<br />
\begin{eqnarray*}<br />
y = \frac{cd - af}{bd-ae}<br />
\end{eqnarray*}<br />
となる。同様にして(1)を<br />
\begin{eqnarray} \begin{cases} aex + bey = ec & \\ bdx + bey = bf & \end{cases} \end{eqnarray}<br />
と書きかえて辺々を引けば、<br />
\begin{eqnarray*}<br />
(ae-bd)x = ec - fb<br />
\end{eqnarray*}<br />
が求まる。$x$について解けば(注1)、<br />
\begin{eqnarray*}<br />
x = \frac{ec - fb}{ae-bd}<br />
\end{eqnarray*}<br />
がもとまる。整理すれば、2元1次連立方程式<br />
\begin{eqnarray*} \begin{cases} ax + by = c & \\ dx + ey = f & \end{cases} \end{eqnarray*}<br />
の解は<br />
\begin{eqnarray*}<br />
x = \frac{ce - bf}{ae-bd} , y = \frac{af-cd}{ae-bd}<br />
\end{eqnarray*}<br />
である。これが<span style="color: red;"><b>2元1次連立方程式の解の公式</b></span>である。<br />
<br />
<br />
たとえば、連立方程式<br />
\begin{eqnarray*} \begin{cases} x + y = 6 & \\ 2x + 3y = 17 & \end{cases} \end{eqnarray*}<br />
においてこの公式を用いれば、係数を見るだけで解が<br />
<br />
\begin{eqnarray*}<br />
x = \frac{18-17}{3-2}=1 , y = \frac{17-12}{3-2}=5<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
と求まる。<br />
<br />
同様にして、3元1次連立方程式の解の公式も求められる。ただし、次節で紹介する線形代数学を用いずに求めるのは面倒であり、また公式そのものも、我々のもっている知識では生産性のない記述しかできないため、ここでは触れない。<br />
<br />
<br />
<br />
注1)優秀な読者であれば、$ae \neq bd$を確かめずにこれをしてよいのかと異議を唱えるだろう。実は、連立方程式の解が求まる場合は$ae \neq bd$が保証されている。ここでそれを示すことができず大変無念ではあるが、詳細は線形代数学を学んでもらいたい。<br />
<br />
<h2>
<span style="font-size: large;">線形代数学へ</span></h2>
<br />
実はこの解の公式は、理工系の学生が大学初年度に学ぶ線形代数学の<b><span style="color: red;">クラメルの式</span></b>と呼ばれる公式の特殊な場合である。線形代数学というのは、連立方程式の解法の研究から発生した学問である。線形代数学では、行列や行列式と呼ばれるものを使って、より未知数の多い多元連立方程式の解の公式を導く。ここで導いた2元1次連立方程式の解の公式も行列や行列式というものを導入することによってよりスマートに求めることができる。<br />
<br />
<br /></div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-13472929791244282072015-03-15T20:05:00.000+09:002015-10-25T10:28:28.896+09:00ベクトルの内積はなぜcosで定義されるのか。高校の教科書では、$\vec{a}$と$\vec{b}$の成す角が$\theta$のとき、内積$\vec{a}\cdot \vec{b}$を次のように定義するとあります。<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta<br />
\end{equation*}<br />
<br />
しかし、教科書にはその理由が書いてありません。<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjuNS8f9KUgLzPYZtmYJ9xHMuoDFw7-1lbgmLZtH_OiwJvY7X0McA6ruT0BAls2NUG1Vv5hgJv4hp82XbbAVs4yhajlkjjdv-BrYrX0XjxmBMWGgqfHEH9FLDYN7qFUM9AnHk13Nghy_gYa/s1600/vec1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjuNS8f9KUgLzPYZtmYJ9xHMuoDFw7-1lbgmLZtH_OiwJvY7X0McA6ruT0BAls2NUG1Vv5hgJv4hp82XbbAVs4yhajlkjjdv-BrYrX0XjxmBMWGgqfHEH9FLDYN7qFUM9AnHk13Nghy_gYa/s1600/vec1.png" height="280" width="320" /></a></div>
<br />
<br />
本稿では、なぜベクトルの内積がこのように定義されるのかを考えます。なお、本稿では、向きと大きさを持つベクトル量に対して、向きを持たない量をスカラ量と呼びます。<br />
<br />
必要な知識<br />
- 余弦定理<br />
- ベクトルの基本的性質<br />
<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
<br />
実数$a,b$について<br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
(a-b)^2=a^2+b^2-2ab \\<br />
\end{equation}<br />
<div>
<br />
は常に成立している。これを見習ってベクトル$\vec{a},\vec{b}$について<br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
| \vec{a} - \vec{b} |^2 = | \vec{a} |^2 + | \vec{b} |^2 - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} \\<br />
\end{equation}<br />
<br />
が成立していれば、都合がよさそうである。そのため、これをみたす$\vec{a} \cdot \vec{b} $を$\vec{a}$と$\vec{b}$の内積の定義としよう。<br />
<br />
高校で習う定義と違うじゃないか!と思うかもしれないが、慌てずに下の説明を読んでほしい。<br />
<br />
図のような、辺の長さがそれぞれ$|\vec{a}|,|\vec{b}|,|\vec{a}-\vec{b}|$である三角形を考える(図では矢印で辺を表しているが、三角形と思ってよい)。<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJ_r03hZoYUZ_qzybIWg6kVM0gmiEcuBMhrz7AYwPQEB3hyphenhyphenAWBa3LcoRkKODXYM3iP3a-Q-WrWF375Zzab0XO-MstnT7wpIeJdDodBvOo4AZ08JfJx6klnMolblbKwEaM_VA5AeNtkv-Lu/s1600/vec2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJ_r03hZoYUZ_qzybIWg6kVM0gmiEcuBMhrz7AYwPQEB3hyphenhyphenAWBa3LcoRkKODXYM3iP3a-Q-WrWF375Zzab0XO-MstnT7wpIeJdDodBvOo4AZ08JfJx6klnMolblbKwEaM_VA5AeNtkv-Lu/s1600/vec2.png" height="279" width="320" /></a></div>
ここで、余弦定理を用いれば、<br />
<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta \\<br />
\end{equation*}</div>
<div>
<br /></div>
<div>
である。これを式(2)と比較すれば、教科書にある内積の定義<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta<br />
\end{equation*}</div>
<div>
<br /></div>
<div>
となることが分かる。<br />
<br />
このように、ベクトルの内積の定義に$\cos$が現れる理由は、スカラ量に成立する関係(1)に近い関係(2)がベクトル量においても成立することを要請することにある。<br />
<br />
ところで、このように定義されたベクトル量はスカラ量であることに注意しよう。<br />
ベクトル同士の加法・減法はベクトルになったのに対し、<b><span style="color: red;">ベクトル同士の内積はベクトルにはならない</span></b>。<br />
<br />
実はベクトル同士の積の定義は二通りあり、1つは今回扱った積がスカラになる内積、もう1つは積がベクトルになる<b>外積</b>と呼ばれる定義だ。<br />
<br />
外積については他の記事で触れることにしよう。<br />
<br />
なお、大学数学(たとえば線形代数学)では「ベクトル」の定義が高校までと大きく異なることに注意されたい。<br />
<br /></div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-44049649932828129782015-03-15T14:19:00.000+09:002015-10-25T10:28:28.981+09:00逆三角関数の導入 アークサイン,アークコサイン,アークタンジェント三角関数の逆関数を逆三角関数と言います。本稿では高校生の知識のみで逆三角関数を導入します。<br />
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
必要な知識</div>
<div>
- 逆関数についての基本的な性質(<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/f-1yx.html">詳細</a>)</div>
<div>
- 三角関数<br />
- 弧度法</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<a name='more'></a><br /></div>
<div>
$x=a$で$y=b$になるような関数にたいして、$x=b$で$y=a$となる関数を逆関数というのでした。逆関数の意味や基本的な性質についてはこちらを参考(<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/f-1yx.html">クリック</a>)。<br />
<br />
まずは$y=\sin x$の逆関数を導入しよう。正弦関数は$x$に$\frac{\pi}{6}$をいれれば、$\frac{1}{2}$が定まり、$x$に$\frac{\pi}{2}$をいれれば、$1$が求まる。<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjbwTTcEzJBjOqXhsBHTuHT2w0mdDpk3t-mDl7T3Ps86rUeu2VOsOxpTzcqypbONAL_Da9eSc6ZVU_V_6T3vsqPtItlA23rqvBWAj_pwdFWfImlzB1-oaywqQuLR9PWhA3kJkg6D0NL212-/s1600/triang.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="270" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjbwTTcEzJBjOqXhsBHTuHT2w0mdDpk3t-mDl7T3Ps86rUeu2VOsOxpTzcqypbONAL_Da9eSc6ZVU_V_6T3vsqPtItlA23rqvBWAj_pwdFWfImlzB1-oaywqQuLR9PWhA3kJkg6D0NL212-/s1600/triang.png" width="400" /></a></div>
<br />
逆関数とはこの向きを逆さまにした関数をいうから、$x$に$\frac{1}{2}$をいれたら、$\frac{\pi}{6}$が求まり、$x$に$1$をいれたら、$\frac{\pi}{2}$が求まる関数が、$y=\sin x$の逆関数と言える。これを、$y=\arcsin x$と書く。<br />
<br />
ただし、$\arcsin x$を$\sin^{-1}x$と書くこともある。関数$f(x)$の逆関数を$f^{-1}(x)$と書くことから、この記法は自然だが、これでは$\sin^{-1}x$が$\sin x$の逆関数なのか、それとも逆数なのか分からない。そのため、個人的にはこの記法は好きではない。<br />
<br />
<br />
ところで上の定義で導入した$\arcsin x$に一つ問題が生じる。関数というのは、値を与えた時、ただ一つの値を返すものであった。実はこのままでは、$\arcsin x$は、返す値が1つには定まらない。というのも、$\sin x=\frac{1}{2}$を満たす$x$は$x=\frac{\pi}{6}$だけでないからだ。$x=\frac{5}{6}\pi,\frac{13}{6}\pi$なども$\sin x=\frac{1}{2}$を満たす。このため、たとえば$\arcsin \frac{1}{2}$を考えるとき、この値は<br />
\begin{equation}<br />
\arcsin \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\pi, \frac{5}{6}\pi,\frac{13}{6}\pi, \dots<br />
\end{equation}<br />
などと一つに定まらない。そこで、関数として値をただ一つに定める為に、$y=\sin x$の定義域が$-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} $であるときに$\arcsin x$を定義するとしよう。こうした制約を与えることで(この制約を<b>主値をとる</b>などと表現する)<br />
\begin{equation}<br />
\arcsin \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\pi<br />
\end{equation}<br />
と値は一つに定まる。<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilUP7FsW754Gnd95ROeXO2iWRNCWg5VvO3eLdQQNaQWf-KmwF_fY12tVsiEwzec_he2ir1AephL054O8VoXxvEpSB-YfV4CQha0kmPumgXDRXUBXdzCBS3794pLjqsRN0wsqZ4NmJu8jg4/s1600/arcsin.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="276" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilUP7FsW754Gnd95ROeXO2iWRNCWg5VvO3eLdQQNaQWf-KmwF_fY12tVsiEwzec_he2ir1AephL054O8VoXxvEpSB-YfV4CQha0kmPumgXDRXUBXdzCBS3794pLjqsRN0wsqZ4NmJu8jg4/s1600/arcsin.png" width="400" /></a></div>
このように定義した$y=\arcsin x (-1 \leq x \leq 1)$をグラフにすると次のようになる。<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgs6DE6-tEObU7mVxNWHwY2VwJFYQW5VwoCh3-dMaN-n7WbrLnHyAPBB_wwmqFA0t6LM1dT3bc4-zWvt4jdT6jQHqojK8grwLGagAs6KaWk_tKqbn-GNFnl3DWbjHtEpY5Hmt9eE390yAli/s1600/asin.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgs6DE6-tEObU7mVxNWHwY2VwJFYQW5VwoCh3-dMaN-n7WbrLnHyAPBB_wwmqFA0t6LM1dT3bc4-zWvt4jdT6jQHqojK8grwLGagAs6KaWk_tKqbn-GNFnl3DWbjHtEpY5Hmt9eE390yAli/s1600/asin.png" width="400" /></a></div>
<br />
$y=\arcsin x$が$y=\sin x$と$y=x$で対称になっているか確認しよう。逆関数ともとの関数というのは$y=x$で対称であった。<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1-RA4EcuKcqkdHobT09KAQcrkEvJJMKpiN4zfoHl0PpLvSGF66d5Gb7z6vbcbJg_yunv9SWBZxgI1L1GUj_O3gzJHZDgrT5ryr48RE5we5RQRXeZWxQuvlkPTT6JPPFeRqNBTew8ENaf0/s1600/asin2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="271" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1-RA4EcuKcqkdHobT09KAQcrkEvJJMKpiN4zfoHl0PpLvSGF66d5Gb7z6vbcbJg_yunv9SWBZxgI1L1GUj_O3gzJHZDgrT5ryr48RE5we5RQRXeZWxQuvlkPTT6JPPFeRqNBTew8ENaf0/s1600/asin2.png" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
確かに、$y=x$で対称になっている。<br />
<br />
以下、同様にして、$y=\cos x$の逆関数$y=\arccos x$や、$y=\tan x$の逆関数$y=\arctan x$が定義される。これらも$x$を与えた時に値が1つに定まるように適切な定義域を採用される。<br />
<br />
これらのグラフは以下の通り。<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhM_SCNzloqTeub5CiaqKfW9ujI48_d3gd4IawRk9hn-QNCkwkQgr870i2VGDQE0O1vhEpwSH-FhQGcodmfF5LGLC94-9_VDO5FB1CTLVPgu86prhrW0-p5CPqnR5kunuSdRIPtaAZak3DG/s1600/acos.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="203" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhM_SCNzloqTeub5CiaqKfW9ujI48_d3gd4IawRk9hn-QNCkwkQgr870i2VGDQE0O1vhEpwSH-FhQGcodmfF5LGLC94-9_VDO5FB1CTLVPgu86prhrW0-p5CPqnR5kunuSdRIPtaAZak3DG/s1600/acos.png" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">$y=\cos x$の逆関数$y=\arccos x$</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjKfkomErczHoZEWt9m-ZJ3ZzeC48b-dXQ-4x_MuThr3gVH_x4n9qkkR9N0ezWrVlHHnzKieOo10anZYRddFXuu4IL-7NKetW-WyXPslX1kee2hnAciZ5EyEUPGS60CY7JdQu5oYK6BLE6x/s1600/atan.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="202" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjKfkomErczHoZEWt9m-ZJ3ZzeC48b-dXQ-4x_MuThr3gVH_x4n9qkkR9N0ezWrVlHHnzKieOo10anZYRddFXuu4IL-7NKetW-WyXPslX1kee2hnAciZ5EyEUPGS60CY7JdQu5oYK6BLE6x/s1600/atan.png" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">$y=\tan x$の逆関数$y=\arctan x$</td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<br />
逆三角関数を用いることで、積分の計算が容易になるなど、メリットは多い。<br />
逆関数の微積分や関係式は稿を改める。<br />
<br />
$\arctan$の応用として、Machinの公式の記事を参考にされたい(<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/machin.html">詳細</a>)。<br />
<br />
<h2>
<span style="font-size: large;">
練習問題</span></h2>
</div>
<div>
次の値を求めよ。</div>
<div>
(1) $\arcsin \frac{1}{2}$</div>
<div>
(2) $\arccos 1$</div>
<div>
(3) $\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}$</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
答え</div>
<div>
<br /></div>
<div>
いずれも逆三角関数の定義域に注意して、</div>
<div>
(1)</div>
$y = \arcsin \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin y=\frac{1}{2}$ これを満たす$y$は$y=\frac{1}{3}\pi$<br />
<div>
<br /></div>
<div>
(2)</div>
<div>
$y = \arccos 1 \Leftrightarrow \cos y=1$ これを満たす$y$は$y=\frac{\pi}{2}$</div>
<div>
<br /></div>
<div>
(3)</div>
<div>
$y = \arctan \frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \tan y=\frac{1}{\sqrt{3}}$ これを満たす$y$は$y=\frac{\pi}{6}$</div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-61649838215515592542015-03-14T13:13:00.001+09:002015-10-25T10:28:29.013+09:00なぜ逆関数はf^(-1)で表すのか、なぜy=xに対称なのか。関数$y=f(x)$の逆関数は$y=f^{-1}(x)$と書かれました。<span style="color: red;"><b>逆関数をなぜ-1乗と書くのでしょうか</b></span>。<br />
<div>
<br /></div>
<div>
また、逆関数ともとの関数はなぜ$y=x$に対称なのでしょうか。<br />
<div>
<br /></div>
<div>
本稿では、</div>
<div>
1.逆関数の定義のおさらい</div>
<div>
2.逆関数を$f^{-1}$乗と書く理由の説明</div>
<div>
3.逆関数ともとの関数が$y=x$に対して対称であることの証明</div>
<div>
を扱います。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
逆関数という言葉は数学IIIで学習するものですが、本稿は数学IIIが未習のひとでも理解できます。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
必要な知識</div>
<div>
- 関数を$y=f(x)$と書くことになれていること</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<a name='more'></a><br /></div>
<h2>
<span style="font-size: large;">逆関数とは</span></h2>
<div>
関数$y=f(x)$に対して逆関数というのは、$y=f(x)$を$x$について解いて、$x=g(y)$という形にして、$x$と$y$を入れ替えた関数$y=g(x)$を指す。これでは抽象的過ぎてわかりにくいので、例として、関数$y=2x+5$の逆関数を求めてみよう。</div>
\begin{eqnarray*}<br />
y = 2x + 5 \\<br />
x = \frac{y-5}{2}<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
よって、$y=2x+5$の逆関数は$x$と$y$を入れ替えて</div>
\begin{eqnarray*}<br />
y=\frac{x-5}{2}<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
となる。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
高校の教科書では$y=f(x)$に関する逆関数を$f^{-1}(x)$と表記し、<b>インバース</b>と呼ぶ。</div>
<div>
本稿の一つ目の目的は、なぜ逆関数を$f^{-1}(x)$と書くのかを探ることである。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<h2>
<span style="font-size: large;">逆関数を(-1)乗で書く理由</span></h2>
</div>
<div>
上で定義された逆関数はどういった意味を持つのだろうか。もう少し掘り下げてみよう。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
「ある値を与えた時、ただ一つの値を返すもの」を関数と呼び(注1)、本稿では与えた入力値を$x$、返された出力値を$y$と書く。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
関数$y=2x+5$は下の図のように、$x$に$1$を与えれば、$7$をかえし、$x$に$2$を与えれば、$9$を返す。</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4JtTPGeuJZDfmcfhXga7MU214ww5pYSU17cBzAHInx7UwZcUtj_193rmB1C8NYVGvNKsArsU52hsqDDKv5pryG-kbpyjd5-EP0rAN3KetgQkDuUOxxE6y0aWc_N56CHLmjG17aTJZwxia/s1600/so.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4JtTPGeuJZDfmcfhXga7MU214ww5pYSU17cBzAHInx7UwZcUtj_193rmB1C8NYVGvNKsArsU52hsqDDKv5pryG-kbpyjd5-EP0rAN3KetgQkDuUOxxE6y0aWc_N56CHLmjG17aTJZwxia/s1600/so.png" height="256" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div>
関数$y=2x+5$の逆関数というのは、これの矢印を逆さにした関数、すなわち、$7$を与えたら、$1$を返し、$9$を与えたら$2$を返し…という関数のことである。</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-BPANZbZCogP49oHfwJi8KUTSnnum1frBBSj7PCZ1q3kuVoPkddW6i222xdJxmTW8-KGmmxQ3q8cf2ge-TOI-g9Bv-XiVhyn3tgj47JPvEeREqnBw6r_YKy_GZdV7JgIYiUm-n7Iodvig/s1600/so2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-BPANZbZCogP49oHfwJi8KUTSnnum1frBBSj7PCZ1q3kuVoPkddW6i222xdJxmTW8-KGmmxQ3q8cf2ge-TOI-g9Bv-XiVhyn3tgj47JPvEeREqnBw6r_YKy_GZdV7JgIYiUm-n7Iodvig/s1600/so2.png" height="248" width="400" /></a></div>
<div>
<br /></div>
<div>
さらに逆関数の逆関数を求めるには、この矢印をさらに逆さにすればよい。すると元の関数と区別がつかなくなる。このことから、逆関数の逆関数はもとの関数に戻ることが分かる。これは</div>
\begin{eqnarray*}<br />
(f^{-1})^{-1}(x)=f(x)<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
とかけるが、形式的に指数法則を用いれば、$(f^{-1})^{-1}=f^{(-1)(-1)}=f^1=f$である。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
このように、<span style="color: red;"><b>逆関数の逆関数がもとの関数に戻るという性質を指数法則になぞらえて表現しているために、逆関数は$f^{-1}(x)$と表記する</b></span>。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
(注1) 1つの入力値に対して、複数の出力値を与えるものは普通は関数とは呼ばない。そのため、$x^2+y^2=r^2$などは関数とは呼ばない。この方程式は入力値$x$に対して、$y$が複数求まる。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<h2>
<span style="font-size: large;">代表的な関数と逆関数の例</span></h2>
</div>
<div>
(本題からずれるので読み飛ばして構わない)</div>
<div>
<br /></div>
<div>
指数関数と対数関数は逆関数の関係にある。それを上のような図をかいて納得しよう。関数$y=2^x$を先のように図にしてみると</div>
<div>
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhS2YYlTnWHJXpBK1L_v78_xmAF0NR1DOqcC0j_1IDvN1dppdVAtZCxNM2Em3xVRMLm7wwdtchjZ8MAZsXqaWQ6Kj1fu0eHyy6q7mtQLhmeWdNEErzhOiYZn7lfchu4xqvpBTpX0bp6Oh54/s1600/prqs.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhS2YYlTnWHJXpBK1L_v78_xmAF0NR1DOqcC0j_1IDvN1dppdVAtZCxNM2Em3xVRMLm7wwdtchjZ8MAZsXqaWQ6Kj1fu0eHyy6q7mtQLhmeWdNEErzhOiYZn7lfchu4xqvpBTpX0bp6Oh54/s1600/prqs.png" height="250" width="400" /></a></div>
となる。その一方で、$y=\log_{2} x$を図にしてみるよ<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9vhVDU5YVNdmZyWW8fRUBeP2G9q9HBV96kVcS-yHEy8iTgy-51Aj8NaQESDt5kzkzp8ZOombXbTOJgiR6381D-FVMi-tv1kEJpz85XUslOxi02lkg8KuN7W6USU4a-Sh79PpukoUztXml/s1600/ppp.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9vhVDU5YVNdmZyWW8fRUBeP2G9q9HBV96kVcS-yHEy8iTgy-51Aj8NaQESDt5kzkzp8ZOombXbTOJgiR6381D-FVMi-tv1kEJpz85XUslOxi02lkg8KuN7W6USU4a-Sh79PpukoUztXml/s1600/ppp.png" height="236" width="400" /></a></div>
<div>
となるが、これは先の$y=2^x$の図において左右を入れ替えただけであるから、$y=2^x$と$y=\log_{2}x$は、互いに逆関数である。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<h2>
<span style="font-size: large;">$y=x$に対して対称である理由</span></h2>
</div>
<div>
上で取り上げた関数$y=2x+5$とその逆関数$y=\frac{x-5}{2}$や$y=2^x$とその逆関数$y=\log_2x$をプロットすると次のようになる。</div>
<div>
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicYuesgHUjfqxxMOyTSi3ftichH7K8kSIZYvHtBD3HqQXwVaU9cGxz-fS7VQyNucS9tOixOL7A3B8McGxNPeYfaA3nNAylcgEknQQ1X04lPoOo7heN-RvqBM5yCaUaGbN3SaLJQ7nq6Nmt/s1600/plt.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicYuesgHUjfqxxMOyTSi3ftichH7K8kSIZYvHtBD3HqQXwVaU9cGxz-fS7VQyNucS9tOixOL7A3B8McGxNPeYfaA3nNAylcgEknQQ1X04lPoOo7heN-RvqBM5yCaUaGbN3SaLJQ7nq6Nmt/s1600/plt.png" height="336" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhw1mm4S2waj2vHdtjcO9L1FKBMbBrxabUemQEtvvfrh9yIs1dGS8hhqOnzkKmdMpFI5c4hm02RIsURKf9-tGdyow2DqUJ2NtEmAlpm_h9NzNHGCZXspqZGRaTfdZHBjhuuO2XvQ3SVVRJZ/s1600/mms.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhw1mm4S2waj2vHdtjcO9L1FKBMbBrxabUemQEtvvfrh9yIs1dGS8hhqOnzkKmdMpFI5c4hm02RIsURKf9-tGdyow2DqUJ2NtEmAlpm_h9NzNHGCZXspqZGRaTfdZHBjhuuO2XvQ3SVVRJZ/s1600/mms.png" height="336" width="400" /></a></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
グラフを見れば、この逆関数ともとの関数が$y=x$に対して対称であることが分かる。これは一般の関数$f(x)$とその逆関数$f^{-1}(x)$にも言える。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
逆関数ともとの関数を作図した時に$y=x$に対して対称となることの証明は以下の通り。</div>
<div>
<u><br /></u></div>
<div>
<u>定理</u></div>
<div>
<br /></div>
<div>
$y=f^{-1}(x)$のグラフとその逆関数$y=f^{-1}(x)$のグラフは直線$y=x$に関して対称である。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<u>証明</u></div>
<div>
<u><br /></u></div>
<div>
関数$f(x)$とその逆関数$f^{-1}(x)$において、</div>
<br /><br />\begin{equation}<br /><br />b=f(a) \Leftrightarrow $ a=f^{-1}(b)<br /><br /><br />\end{equation}<div>
が成り立つ。これは逆関数の定義から明らかである。$x$に$a$を与えた時に$b$を出力する関数に対して、逆関数というのは、$x$に$b$を与えたら$a$を出力する関数である。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
言うまでもなく、$b=f(a)$というのは$x=a$のとき、$y=b$を意味し、$a=f^{-1}(b)$というのは、$x=b$のとき$y=a$を意味するのだから、点P$(a,b)$が関数$y=f(x)$上にあることと、点Q$(b,a)$がその逆関数$y=f^{-1}(x)$のグラフ上にあることは同じことである。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
点P$(a,b)$と点Q$(b,a)$は直線$y=x$に対して対称な関係にあるから、逆関数$y=f^{-1}(x)$のグラフはもとの関数$y=f(x)$のグラフと$y=x$に関して対称であることが分かる。</div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-69033228677255663482015-03-14T00:31:00.001+09:002015-10-25T10:28:29.063+09:00絶対値を含む関数 y=f(|x|),|f(x)|,|f(|x|)|絶対値を含む関数が苦手な人が多いです。適当な関数$y=f(x)$に対して、<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
y=|f(x)|<br />
\end{equation*}<br />
<br />
がどんな形になるか即答できる人は多いですが、<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
y=f(|x|)<br />
\end{equation*}<br />
<br />
がどんな形になるか即答できる高校生は少ないです。さらに<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
y=|f(|x|)|<br />
\end{equation*}<br />
<br />
はどういう形になるでしょう。<br />
<br />
本稿ではこうした絶対値を含む関数を見てみます。<br />
<br />
<br />
<br />
必要な知識<br />
- 実数の絶対値の意味<br />
- 三角関数のグラフの形<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
<br />
まずは、代数的な方程式を採用する。関数$f(x)$を<br />
\begin{equation*}<br />
f(x) = x^3-3x+2<br />
\end{equation*}<br />
とする。これのグラフは次の通り。<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkABEOpZd9Y_xW26U6pt6VzthAL9gbqJDFUPlFtxSEkOODte0JhN7Rt6vkRsL3F0llFAH_L4-Y1CTPmf4Ve1BSpD4LC-Hi_RuwnwutO3OiYncudJJWmaePm7kPc_L45vEEm9o4rURlgmxW/s1600/image1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkABEOpZd9Y_xW26U6pt6VzthAL9gbqJDFUPlFtxSEkOODte0JhN7Rt6vkRsL3F0llFAH_L4-Y1CTPmf4Ve1BSpD4LC-Hi_RuwnwutO3OiYncudJJWmaePm7kPc_L45vEEm9o4rURlgmxW/s1600/image1.png" height="240" width="400" /></a></div>
微分して極値を求めれば簡単にグラフはかけるはずだ。<br />
<br />
次に、$|f(x)|$を考える。つまり、<br />
\begin{equation*}<br />
y = |x^3-3x+2|<br />
\end{equation*}<br />
をグラフにする。任意の実数$a$に関して$|a|>0$であることをヒントに<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYv0qGpU8K7J_ANSqYYIdDHzEhPF0XdX6kr-3TZfDX5PN5QNOu7a27m4_17nrC3qXDL0HqFFiFLhD8nCyC2WcpVlPL6jc1oA_Og0reM26TG1bzUqVMGJeoQtgy-YkZqUQ2kJyx6AY6cMJ_/s1600/imagedelta.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYv0qGpU8K7J_ANSqYYIdDHzEhPF0XdX6kr-3TZfDX5PN5QNOu7a27m4_17nrC3qXDL0HqFFiFLhD8nCyC2WcpVlPL6jc1oA_Og0reM26TG1bzUqVMGJeoQtgy-YkZqUQ2kJyx6AY6cMJ_/s1600/imagedelta.png" height="240" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
となることが納得できるだろう。$y$は負をとりえないので、$y=0$において反転されたようになる。<br />
<br />
次に、$f(|x|)$を考える。つまり、<br />
\begin{equation*}<br />
y = |x|^3-3|x|+2<br />
\end{equation*}<br />
を考えるということだ。これは$x$に絶対値の同じ正の数と負の数をいれてみるとわかる。たとえば、$+2$をいれれば、<br />
\begin{equation*}<br />
|2|^3-3|2|+2 = 8 - 6 + 2 = 4<br />
\end{equation*}<br />
で$-2$をいれれば、<br />
\begin{equation*}<br />
|-2|^3-3|-2|+2 = 8 - 6 + 2 = 4<br />
\end{equation*}<br />
である。あきらかに、任意の$a$に関して、$f(|a|)=f(|-a|)$であるから、$x=-a$のときと$x=a$のときで値は同じはず。つまり、$y$軸に対して対称なグラフになるはずである。実際にグラフにしてみると、次のようになる。<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2nSO598hQ4Iuc6b9P2m8d4p-3sQoP-iWm9Ai1GYO21a4C95QvAfCeR5YIIy-pripF1rfV3HE8Se_ke5QS8USwPHJ9dRg5eo2QdVm8nSy6kkvPTNMnV3gLpo5nUDprrcCTEeWSI7vy_xbz/s1600/imagde.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2nSO598hQ4Iuc6b9P2m8d4p-3sQoP-iWm9Ai1GYO21a4C95QvAfCeR5YIIy-pripF1rfV3HE8Se_ke5QS8USwPHJ9dRg5eo2QdVm8nSy6kkvPTNMnV3gLpo5nUDprrcCTEeWSI7vy_xbz/s1600/imagde.png" height="240" width="400" /></a></div>
次に$|f(|x|)|$について考える。これはどうなるだろう?<br />
難しく考える必要はなく、$f(|x|)$としたときの効果($y$軸で対称)と$|f(x)|$としたときの効果($x$軸で反転)の両方が生じる。ただし、今回は$f(|x|)=|f(|x|)|$がたまたま成立するのであまり面白くない。<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcsz_ERi5XqznQH1q76CPVz-1VY7CyyCbUlXGWQv7tASEG48cSHWTcwZgjvcRvruS4KT8Jxrptqj_OF-GKnVk7U7PRZZgtDhFIKtZ-Yt9yXBW7gVgmh22K67typyWY1jY2Vk1pU33HP7fZ/s1600/image33.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcsz_ERi5XqznQH1q76CPVz-1VY7CyyCbUlXGWQv7tASEG48cSHWTcwZgjvcRvruS4KT8Jxrptqj_OF-GKnVk7U7PRZZgtDhFIKtZ-Yt9yXBW7gVgmh22K67typyWY1jY2Vk1pU33HP7fZ/s1600/image33.png" height="240" width="400" /></a></div>
<br />
<br />
<br />
<br />
そこで、もう少し複雑な関数$f(x)=\sin x + \cos x$においても同じことが言えるのを確かめてみよう。まずは、$y=f(x)$をグラフにすると次の通り。<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhP6OjZgTi8uULizU6DKHSBVLQ4L78xYPMpUBrTPrZBiH2jtDFXel6GGRFcbkUrrf7PUh4Ds7HA4_N6Gz23Ztx9ulmw0xRNOD9GuL4Cxyph1czY_y4yEaSAXfc89P7X1U7S9mBKz8N3-k8Q/s1600/image4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhP6OjZgTi8uULizU6DKHSBVLQ4L78xYPMpUBrTPrZBiH2jtDFXel6GGRFcbkUrrf7PUh4Ds7HA4_N6Gz23Ztx9ulmw0xRNOD9GuL4Cxyph1czY_y4yEaSAXfc89P7X1U7S9mBKz8N3-k8Q/s1600/image4.png" height="240" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
これは三角関数を合成すれば、コンピュータに頼らずとも作図できるはずだ。</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
次に、この関数全体に絶対値記号をつけて</div>
<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
<br />
y=|\sin x + \cos x|<br />
<br />
\end{equation*}<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
をグラフにすると、次のようになる。</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCizkHcK6lQjnhsyISiBPdvgpVdz1lRcaBx850EHi-v9mk8NVo52kFtC-rrrcWDkQbOjjCKI6UFKerENSZbFPtegNvZF-vZqMHCkJEjS48ROV-LUb4mLCVovbWtjwOtzHFiUsqhVslyfa6/s1600/image5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCizkHcK6lQjnhsyISiBPdvgpVdz1lRcaBx850EHi-v9mk8NVo52kFtC-rrrcWDkQbOjjCKI6UFKerENSZbFPtegNvZF-vZqMHCkJEjS48ROV-LUb4mLCVovbWtjwOtzHFiUsqhVslyfa6/s1600/image5.png" height="240" width="400" /></a></div>
確かにx軸で反転している。続いて、$f(|x|)$、すなわち<br />
<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
<br />
y=\sin |x| + \cos |x|<br />
<br />
\end{equation*}をグラフにすると<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgG_SufKjKD5bGRtIA1ebVkOGwTMjMkOJZJz1DuoEMF0wCu6M8XjjcVlrfMA8CBVBdgiCClrCZR14dCw9dseEw_yKtm2TbGufAo4AZiFbRrXDyJE-GyW7KpwoBcfL9J2vs6_P6N0uC2Nyg6/s1600/image6.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgG_SufKjKD5bGRtIA1ebVkOGwTMjMkOJZJz1DuoEMF0wCu6M8XjjcVlrfMA8CBVBdgiCClrCZR14dCw9dseEw_yKtm2TbGufAo4AZiFbRrXDyJE-GyW7KpwoBcfL9J2vs6_P6N0uC2Nyg6/s1600/image6.png" height="240" width="400" /></a></div>
となり、やはりy軸に対称である。<br />
<br />
次に$|f(|x|)|$について考える。これはどうなるだろう?<br />
$f(|x|)$としたときの効果($y$軸で対称)と$|f(x)|$としたときの効果($x$軸で反転)の両方が生じるのだから、<br />
<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
<br />
y=| \sin |x| + \cos |x| |<br />
<br />
\end{equation*}をグラフにしてみると次のようになる。<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQmmyBS-02oq_3BaQhNRBJ9WJl-ZFkRbvnC9Lsmnt45pv0J7aL8oteeaccT3RRahyphenhyphenrm0c9b3QIQcgGCaNiujlZTVTWPzsuMMCAbje9_LqnaWRxzFtJjXTDcaFSx0wcaFhVnmki1rS6Vqsy/s1600/image7.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQmmyBS-02oq_3BaQhNRBJ9WJl-ZFkRbvnC9Lsmnt45pv0J7aL8oteeaccT3RRahyphenhyphenrm0c9b3QIQcgGCaNiujlZTVTWPzsuMMCAbje9_LqnaWRxzFtJjXTDcaFSx0wcaFhVnmki1rS6Vqsy/s1600/image7.png" height="240" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
確かに$x$軸で反転され、$y$軸対称となる。<br />
<br />
<h2>
<span style="font-weight: normal;"><span style="font-size: large;">まとめ</span></span></h2>
<div>
関数$y=|f(x)|$は$y=f(x)$を$x$軸で反転させたもの</div>
<div>
関数$y=f(|x|)$は$y=f(x)$を$y$軸対称にしたもの</div>
<div>
関数$y=|f(|x|)|$は$y=f(x)$を$x$軸で反転させ、$y$軸対称にしたもの</div>
<div>
<br /></div>
<div>
という結論が導けた。</div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-10841617683982217012015-03-12T22:27:00.000+09:002015-10-25T10:28:28.887+09:00実数の絶対値と複素数の絶対値の根本的な違い先日の記事でも紹介したように、虚数同士の大小を(私たちのよく知る意味においては)比較することはできません(<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/blog-post_60.html">詳細</a>)。一方で、虚数の絶対値は定義することができます。しかし、その扱いには注意が必要です。<br />
<br />
問.$|z-2|=1$を満たす複素数$z$を求めよ。<br />
<br />
これに対して、ある学生は以下のように考えました。<br />
<br />
まずは絶対値記号をはずして<br />
\begin{equation*}<br />
z-2=\pm1<br />
\end{equation*}<br />
より、<br />
\begin{equation*}<br />
z=1,3<br />
\end{equation*}<br />
<span style="color: red;"><b>実はこれは間違い</b></span>です。どこがおかしいか説明できますか。<br />
<br />
本稿では、<br />
<br />
1.複素平面についておさらい<br />
2.複素数の絶対値の定義を納得する<br />
3.<b><span style="color: red;">実数の絶対値と複素数の絶対値の根本的な違いを指摘</span></b>する<br />
4.この問いに対する正しい答えを導く<br />
<br />
ことを行います。<br />
<br />
必要な知識<br />
- 実数の絶対値の定義や絶対値記号の外し方<br />
- 複素数と虚数の定義(<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/blog-post_49.html">詳細</a>)<br />
- 円の方程式$x^2+y^2=r^2$<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
<br />
<h2>
<span style="font-size: large;">
復習―複素平面と複素数の絶対値</span></h2>
<div>
まずは、複素平面について復習する。高校の教科書に載っている内容であるから、既習の方は読み飛ばして構わない。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
我々は実数というものが数直線上の点で表現されることをよく知っている。これに対応して、二つの実数$x,y$からなる複素数$z$を平面上の点として表すことができる。この平面を複素平面と呼ぶ。方法はいたってシンプルであり、横軸に$z$の実部$x$、縦軸に虚部$y$をとるだけである。例えば、複素数$2+i$や$-2+3i$は次の図のようにプロットされる。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirZe0m2uhJXoAAyzSW80b5qhzo3vvUvF0_AxmMuBoED7Ad6GNSURrOqlQaQVQtZ8B5d0Il_rCuKMZ76vl4sInFSloN4dxetI58AmtYRusANTt0TnwB4WcOMOu91JA4BLn3E5ABuhgG2017/s1600/dde.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="310" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirZe0m2uhJXoAAyzSW80b5qhzo3vvUvF0_AxmMuBoED7Ad6GNSURrOqlQaQVQtZ8B5d0Il_rCuKMZ76vl4sInFSloN4dxetI58AmtYRusANTt0TnwB4WcOMOu91JA4BLn3E5ABuhgG2017/s1600/dde.png" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
上図の黒い点が左から複素数$-2+3i,2+i$に対応する点である。全ての実数が数直線上の点に対応するように、全ての複素数が複素平面上のいずれか1点に対応する。</div>
<div>
<br />
ここで、実数の絶対値の定義を思い出して欲しい。実数$a$の絶対値$|a|$はなんだと教わっただろうか。単に「符号をとったもの」ではなく、「<span style="color: red;"><b>絶対値とは数直線上の原点との距離</b></span>」と習ったはずである。このことから、<span style="color: red;"><b>複素数の絶対値を複素平面上の原点との距離</b></span>と定義しよう。<br />
<br />
<u>定義</u><br />
$x,y$を実数としたとき、一般の複素数$z=x+iy$の絶対値は<br />
\begin{equation*}<br />
|z|=\sqrt{x^2+y^2}<br />
\end{equation*}<br />
で定義される。<br />
<br />
<h2>
<span style="font-size: large;">
勘違いの正体</span></h2>
実数$a$について、$|a|=2$というのは数直線上において点$a$が原点から距離$2$だけ離れていることを意味する。これを満たす$a$は$+2$と$-2$の二点のみということが下の数直線からも分かる。<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgrtBp5CkgSMTFVlJ_8RXzM3F4gLwLbLXsLPMp9BPUNyL_pF-HGl30pm4hyL906GckytmAed_ilJRv9kbP106rFtcQRlxas7kIoY8c9VxLvReho_ZDz9z-rIdA2rI_Ma47nOE2dgnd6bept/s1600/pra.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="140" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgrtBp5CkgSMTFVlJ_8RXzM3F4gLwLbLXsLPMp9BPUNyL_pF-HGl30pm4hyL906GckytmAed_ilJRv9kbP106rFtcQRlxas7kIoY8c9VxLvReho_ZDz9z-rIdA2rI_Ma47nOE2dgnd6bept/s1600/pra.png" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: 12.8000001907349px;">|a|=2の意味する点は、数直線上の原点から2だけ離れている二点。つまり、+2と-2のみ。</span></td></tr>
</tbody></table>
<div>
一般に0でない実数$a,b$について$|a|=b$を満たす点$a$は$\pm b$の二点に限られるため、たとえば絶対値を含む$x$に関する方程式$|f(x)|=b$は、$f(x) = \pm b$として、考えることができた(もちろん解が求まった後に付帯条件を満たすか確認が必要だが)。</div>
<div>
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
一方で、複素数$z=x+iy$について$|z|=2$を満たす点というのは、複素平面上の原点からの距離が2である点を指す。$z$の絶対値は定義より$\sqrt{x^2+y^2}$であるから、複素平面上において$\sqrt{x^2+y^2}=2$を満たす点を指すので、$|z|=2$を満たす点は無数に存在する。図形と方程式の章で学習した円の方程式を思い出せばわかるように、$\sqrt{x^2+y^2}=2$というのは中心が原点で半径が2の円を表すからだ。</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhjsN-mvoIoN_oOCuP2syitO3OnQJIx1O1_ZjnexVo9qondXxQRgkBZ4nVY_GnPcDCpH3Hx0ysg84m4q07gXVgy0SmMGw7IuJ13RC5IDfxTFWIeknyrv9fwcRecAYUuE41E9HeOOdI3SE7Z/s1600/imim.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="307" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhjsN-mvoIoN_oOCuP2syitO3OnQJIx1O1_ZjnexVo9qondXxQRgkBZ4nVY_GnPcDCpH3Hx0ysg84m4q07gXVgy0SmMGw7IuJ13RC5IDfxTFWIeknyrv9fwcRecAYUuE41E9HeOOdI3SE7Z/s1600/imim.png" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$|z|=2$を考えるとき、実数の時と同じように絶対値をはずしてしまうと、$z=\pm 2$となる。確かに、$z=2$と$z=-2$というのは上の図を見てもわかるように複素平面の原点からの距離が2であるから、$|z|=2$を満たす。しかし、$|z|=2$を満たす$z$はこの二つだけではないのだ。</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
このように、$b$を任意の実数としたとき<span style="color: red;"><b>$|z|=b$を満たす複素数$z$というのは実数の時とは異なり、無数に存在する。</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="color: red;"><b><br /></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
これが実数の絶対値と複素数の絶対値の根本的な違いだ。</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<h2>
<span style="font-size: large;">正しい考え方</span></h2>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
では、$|z-2|=1$を満たす複素数$z$を求めよという問いへの正しい答えを見てみよう。ここで複素数$z$は実部$x$と虚部$y$を用いて、$z=x+iy$と書き改める。これを与方程式に代入すれば、</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
\begin{equation*}<br />
|x+iy-2|=1<br />
\end{equation*}<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
となる。ここで、複素数の絶対値の定義を思い出せば、左辺の絶対値記号の中の実部$x-2$と虚部$y$に注目して</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
\begin{equation*}<br />
|x+iy-2|=|x-2+iy|=\sqrt{(x-2)^2+y^2}=1<br />
\end{equation*}<br />
<div class="separator" style="clear: both;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
とかけることが分かる。両辺を二乗すれば、</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<br /></div>
\begin{equation*}<br />
(x-2)^2+y^2=1<br />
\end{equation*}<br />
<div class="separator" style="clear: both;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
と、円の方程式が現れる。これをプロットすれば、</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgCCVcJWsNLywSiDWEwiDSiK-o0d35_oYQlgj0zsK7ynQC-gHFVZBS7me5wrYRUVUXS8Y6LMvFeqEeG9fEJXVmJV6h7o-fJxEpZhuJVC99RTpbD-BXuWUPFeCHc9pzwUM3wA9PKMeyjSQy8/s1600/ddds.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="199" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgCCVcJWsNLywSiDWEwiDSiK-o0d35_oYQlgj0zsK7ynQC-gHFVZBS7me5wrYRUVUXS8Y6LMvFeqEeG9fEJXVmJV6h7o-fJxEpZhuJVC99RTpbD-BXuWUPFeCHc9pzwUM3wA9PKMeyjSQy8/s1600/ddds.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
となる。黒点で示された複素数が$|z-2|=1$を満たす。</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
$z=1,3$はもちろん、それ以外の点、たとえば$(2-\frac{1}{\sqrt{2}})+i\frac{1}{\sqrt{2}}$などもこの複素平面上の円に含まれる。</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
結論として、$|z-2|=1$を満たすのは複素平面上で$x=2$を中心とする半径1の円周上にある全ての複素数であることが分かった。</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<br /></div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-46771707427438246912015-03-11T22:54:00.001+09:002015-10-25T10:28:28.985+09:00相加・相乗・調和平均による評定と学生の負担問.進級するためには、中間試験と期末試験の平均点が50点以上でなければならない。ある学生の中間試験の点数は$x$点だったとする。彼が無事に進級するためには、期末試験で何点とればよいでしょうか(試験は100点満点とする)。<br />
<div>
<br /></div>
<div>
という問いについて考えます。単に「平均」といえども、その種類はたくさんあります。成績で平均をつけるとしたら相加平均をとるに決まっているだろう!と思う人が多いと思いますが、自分の大学では一部の科目において成績評定は相乗平均によって評価されます。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
先日の記事では、「相加平均」「相乗平均」「調和平均」を紹介し、それらに成立する不等式を紹介しました(<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/blog-post_10.html">詳細</a>)。これによると、同じ二つの値において、調和平均がもっとも小さく、相加平均がもっとも大きくなります。相加平均を採用した場合とそれ以外を採用した場合の学生の負担の差について見てみましょう。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
必要な知識</div>
<div>
- 相加・相乗・調和平均の関係(<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/blog-post_10.html">詳細</a>)<br />
- 相加平均・相乗平均・調和平均の定義<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
以下、進級のために期末試験で最低とらなければならない点数を$y$点とする。<br />
<br />
<br />
まずは、相加平均を採用した場合について考える。$x$と$y$について相加平均をとって、これが50点のときにぎりぎりで進級できるので、<br />
\begin{equation*}<br />
\frac{x+y}{2} = 50<br />
\end{equation*}</div>
<div>
を考える。これを$y$について解けば、<br />
\begin{equation*}<br />
y=100-x<br />
\end{equation*}<br />
となる。<br />
二回のテストの合計点$x+y$が100点であればいいのだから、中間試験で0点をとっても、期末試験で満点を取れば進級は可能だということだ。<span style="color: red; font-weight: bold;">中間試験で失敗しても、期末試験でがんばれば挽回できる相加平均による評価は非常に教育的だといえるだろう!</span><br />
<br />
なお、進級のぎりぎりラインを示した図は以下。<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgK3FOU-jG-RmdQwTN6IitEL_i_rtBFxz3QgJRMqhvV1bqlXkQJUtgh1425vzrfd-81nzwn3balgqvINyOypVBVD-ypwWW7OW-XBBpRYJQv0AnR9KEMSg2rlxLOye2_cac8OErAoMMh4N-7/s1600/dax.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgK3FOU-jG-RmdQwTN6IitEL_i_rtBFxz3QgJRMqhvV1bqlXkQJUtgh1425vzrfd-81nzwn3balgqvINyOypVBVD-ypwWW7OW-XBBpRYJQv0AnR9KEMSg2rlxLOye2_cac8OErAoMMh4N-7/s1600/dax.png" height="248" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: 12.8000001907349px;">中間試験の点数(横軸)に対して、進級のために期末試験でとらなければならない点数(縦軸)</span></td></tr>
</tbody></table>
<br />
この青いラインよりも下側に位置する人(たとえば、40点-50点や70点-10点の人など)は落第である。<br />
<br />
次に、相乗平均を考える。$x$と$y$について相乗平均をとって、これが50点のときにぎりぎりで進級であるから、<br />
\begin{equation*}<br />
\sqrt{xy} = 50<br />
\end{equation*}<br />
を考える。これを$y$について解く。両辺を二乗して<br />
\begin{equation*}<br />
xy=2500<br />
\end{equation*}<br />
両辺を$x$で割って<br />
\begin{equation*}<br />
y=\frac{2500}{x}<br />
\end{equation*}<br />
となる。二回のテストの平方根の積$\sqrt{xy}$が50点のときにぎりぎり合格なわけだが、中間試験で0点をとると、その時点で0に何をかけても50にはならないので落第決定である。また、中間試験で1点をとると、期末試験で2500点とらなければ挽回できないので同じく落第決定である。<br />
これを先と同じようにグラフにすると以下のようになる。<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-bjmgXMW6ba_NQLmDtbVtiK5PLhA7F2S6v7-SQaQDkt-9ViB9StmbLxPL2eKWXVN2l0scgjJ20IUcickG7LAAdt5s_5CoZjLPICP0FEV6iG73kiCrajRMY5UAZQ_dTH3fgVPxuhAkN5Lo/s1600/yyy.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-bjmgXMW6ba_NQLmDtbVtiK5PLhA7F2S6v7-SQaQDkt-9ViB9StmbLxPL2eKWXVN2l0scgjJ20IUcickG7LAAdt5s_5CoZjLPICP0FEV6iG73kiCrajRMY5UAZQ_dTH3fgVPxuhAkN5Lo/s1600/yyy.png" height="243" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: 12.8000001907349px;">中間試験の点数(横軸)に対して、進級のために期末試験でとらなければならない点数(縦軸)</span></td></tr>
</tbody></table>
この曲線よりも下側に居る人は落第である。中間の点数が25点の場合、期末で100点をとればギリギリ進級できるが、<b style="color: red;">中間・期末のいずれかで25点未満の点数をとるとその時点で落第が決定する。相加平均の場合は中間で25点の人は期末試験は75点で合格であったことを比べれば、差は大きい。</b>さきの相加平均と比べて、落第する部分の面積が大きいので、学生の負担は明らかに大きいことが分かる。<br />
<br />
次に調和平均の場合を見よう。$x$と$y$について調和平均をとって、これが50点のときにぎりぎりで進級であるから、<br />
\begin{equation*}<br />
\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} = 50<br />
\end{equation*}<br />
を考える。式を整理すると、<br />
\begin{equation*}<br />
\frac{2xy}{x+y}=50<br />
\end{equation*}<br />
とかけるので、これを$y$について解いて、<br />
\begin{equation*}<br />
y=\frac{25x}{x-25}<br />
\end{equation*}</div>
<div>
となる。これのグラフをかけば、次のようになる。</div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqR_4etMbXzjTJwCHZtN8NdKblupWwTLnMio1BOqRydpVBe6qgr2wLBvOq7CqU5bq-m3mQc3DFhZJmV8jP_FST40fdCkuPARMiX4bjDTrIvHJU9sRA5xjK5eUEhbgZPbjP-x6btr9Kr5FY/s1600/prq.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqR_4etMbXzjTJwCHZtN8NdKblupWwTLnMio1BOqRydpVBe6qgr2wLBvOq7CqU5bq-m3mQc3DFhZJmV8jP_FST40fdCkuPARMiX4bjDTrIvHJU9sRA5xjK5eUEhbgZPbjP-x6btr9Kr5FY/s1600/prq.png" height="252" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: 12.8000001907349px;">中間試験の点数(横軸)に対して、進級のために期末試験でとらなければならない点数(縦軸)</span></td></tr>
</tbody></table>
<div>
相乗平均に比べて、さらに落第範囲の面積が大きくなっている。<b style="color: red;">中間・期末のいずれかで33点以下の点数をとると、</b><b style="color: red;">その時点で落第が決定する。相加平均の場合は中間で33点の人は期末試験は67点以上で合格、相乗平均の場合は76点以上</b><b style="color: red;">で合格であったことを比べれば、差は大きい。</b><strike>まさに学生の敵といえる評価の方法である。</strike></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<h2>
<span style="font-size: large;">
まとめ</span></h2>
<div>
上で書いた3つのグラフをひとつにすると次のようになる。</div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBf1S4_iiNIOGPNZoldnkD8lX1Atxn3hq7Qb-2_wK-X8FKkkDpED-c28m8-7oXj6JFjoq3noa-M_L2QRkTZGBZIvU4H_bbe7hXi8zCBXy3sUpDCZgIvck6YHithka9sWBRyMG-pwlJtYIN/s1600/allis.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBf1S4_iiNIOGPNZoldnkD8lX1Atxn3hq7Qb-2_wK-X8FKkkDpED-c28m8-7oXj6JFjoq3noa-M_L2QRkTZGBZIvU4H_bbe7hXi8zCBXy3sUpDCZgIvck6YHithka9sWBRyMG-pwlJtYIN/s1600/allis.png" height="257" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">青:相加平均 赤:相乗平均 緑:調和平均<br />
それぞれの平均を採用したときのぎりぎりの進級ライン。各曲線よりも上に位置すれば合格。</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
先日の記事で触れた相加・相乗・調和平均の関係(<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/blog-post_10.html">詳細</a>)が成立していることが分かる。また、$x=y=50$において、いずれの平均値も同じ値であることも注目に値する。<br />
<br />
各曲線よりも下に位置する人は落第する。このグラフの$x$軸,$y$軸,$y=100,x=100$と曲線のつくる面積の大きさが学生の負担の大きさを表していると理解して差し支えないだろう。具体的に面積を求めてみるとおもしろいかもしれない。<br />
<br />
繰り返しになるが、<span style="color: red;"><b>中間試験で失敗しても、期末試験でがんばれば挽回できる相加平均による評価が最も教育的だといえるだろう!</b></span>相乗平均や調和平均を採用するとはじめの試験で躓いた学生はその時点で落第が決まり、挽回するチャンスを与えられないことがグラフより分かる。<br />
<br />
いずれにせよ結論として、「もしも、明日から学校の評定が相加平均ではなく相乗平均や調和平均をもって評価されるとなれば、多くの進級できたはずの人が落第する」ということがいえた。<br />
<div>
<br />
<br /></div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-23479677241704775772015-03-10T23:59:00.002+09:002015-10-25T10:28:28.915+09:00相加・相乗・調和平均の関係二つの正の値$a,b$において相加平均(算術平均)は<br />
\begin{equation*}<br />
\frac{a+b}{2}<br />
\end{equation*}<br />
と定義され、相乗平均(幾何平均)は<br />
\begin{equation*}<br />
\sqrt{ab}<br />
\end{equation*}<br />
で定義されることは高校の教科書に載っています。また、あまり知られていませんが、調和平均というものも存在し、これは<br />
\begin{equation*}<br />
\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}<br />
\end{equation*}<br />
で定義されています。この調和平均は、平均の速さを求める問題や、ばね定数の直列合成、並列回路における抵抗値の計算などにおいて利用されています。調和平均がどこで用いられているかは稿を改めます。<br />
<br />
相乗平均の方が相加平均よりも小さくなるという<b>「相加・相乗平均の関係」</b>は知られていますが、調和平均を含めた<span style="color: red;"><b>「相加・相乗・調和平均の関係」</b></span>というものがあります。<br />
<br />
結論を書けば、<br />
\begin{equation*}<br />
調和平均 \leq 相乗平均 \leq 相加平均<br />
\end{equation*}<br />
となるのですが、本稿ではこの関係を証明します。<br />
<br />
必要な知識<br />
- 簡単な不等式の証明<br />
- 相加・相乗平均の関係<br />
- 3次関数の増減表<br />
<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
<br />
<h2>
<span style="font-size: large;">
相乗平均≦相加平均</span></h2>
まずは、復習がてら、「相乗平均≦相加平均」を示す。方法はいくつかあるが、教科書にもあるような標準的なメソッドをとる。<br />
<br />
二つの正の数$a,b$に関して、<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
を示したい。両辺に2をかけて整理した式<br />
\begin{equation*}<br />
a+b-2\sqrt{ab} \geq 0<br />
\end{equation*}<br />
が示せれば、良い。この式の左辺は、<br />
\begin{equation*}<br />
a-2\sqrt{ab}+b = \left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)^2<br />
\end{equation*}<br />
とかける。実数の二乗は必ず0以上になるので、<br />
\begin{equation*}<br />
\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)^2 \geq 0<br />
\end{equation*}<br />
より、相加相乗平均の関係が示せた。<br />
<br />
尚、等号が成立するのは$a=b$の時に限る。<br />
<br />
<br />
<h2>
<span style="font-size: large;">調和平均≦相乗平均</span></h2>
<div>
次に、調和平均≦相乗平均を示す。これは、相加相乗平均の関係を用いてすぐ示せる。正の値$a,b$に対する調和平均を$s$とかけば、調和平均の定義は</div>
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
s &=& \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \\<br />
\end{eqnarray*}<br />
であり、逆数をとれば、<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{1}{s} &=& \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2} \\<br />
\end{eqnarray*}<br />
となることがわかる。両辺に2をかけた式<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{2}{s} &=& \frac{1}{a} + \frac{1}{b}<br />
\end{eqnarray*}<br />
の右辺において、$\frac{1}{a},\frac{1}{b}$という二つの正の数についての相加相乗平均の関係を用いれば、<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{2}{s} &=& \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}}<br />
\end{eqnarray*}<br />
となる。ふたたび逆数をとって両辺をかければ<br />
\begin{eqnarray*}<br />
s \leq \sqrt{ab}<br />
\end{eqnarray*}<br />
となる。左辺は調和平均で右辺は相乗平均であるから、<span style="color: red;"><b>相乗調和平均の関係</b></span>が示せた。なお、等号が成立するのは、<br />
\begin{eqnarray*}<br />
s = \frac{2ab}{a+b} = \sqrt{ab}<br />
\end{eqnarray*}<br />
をみたす場合、すなわち<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\sqrt{ab}(a+b) &=& 2ab \\<br />
ab(a+b)^2 &=& 4a^2b^2 \\<br />
a^2+2ab+b^2 &=& 4ab \\ <br />
(a-b)^2&=&0<br />
\end{eqnarray*}<br />
が満たされる場合であるから、$a=b$のときである。<br />
<br />
<h2>
<span style="font-size: large;">調和平均≦相乗平均≦相加平均</span></h2>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
以上の議論から、</div>
<div>
\begin{equation*}<br />
\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}<br />
\end{equation*}<br />
という<b style="color: red;">相加・相乗・調和平均の関係</b>が示せた。なお、等号で結ばれるのは、$a=b$のときである。<br />
<br />
なお、実際に二つのデータにおいて相加・相乗・調和平均が成り立っていることの例として、学生の評定についての記事を書いたので参考にして欲しい(<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/blog-post.html">詳細</a>)。<br />
<br />
<h2>
<span style="font-size: large;">
データ数が3の場合の相乗平均≦相加平均</span></h2>
ここまで、データ数が2の時について見てきたが、値の数がもっと多いときも上で示した相加・相乗・調和平均の関係は成立している。これの証明はなかなか体力のいることなので、別の記事にあらためて書こうと思う。<br />
<br />
ここではデータ数が3の場合についても相加・相乗・調和平均の関係が成立していることを証明する。<br />
<br />
はじめに、$a,b$を正の定数、$x$は$x>0$をみたすとして、<br />
\begin{equation*}<br />
f(x)=a^3+b^3+x^3-3abx<br />
\end{equation*}<br />
の最小値を調べる。この関数を微分すれば、<br />
\begin{equation*}<br />
f'(x)=3x^2-3ab=3(x+\sqrt{ab})(x-\sqrt{ab})<br />
\end{equation*}<br />
である。これより、$x=\sqrt{ab}$で$f(x)$は最小となることが分かる。そして、その最小値は、<br />
\begin{eqnarray*}<br />
f(\sqrt{ab}) &=& a^3+b^3+\sqrt{a^3b^3}-3ab\sqrt{ab} \\ &=& a^3-2\sqrt{a^3b^3}+b^3 \\<br />
&=& (\sqrt{a^3} - \sqrt{b^3})^2 \geq 0<br />
\end{eqnarray*}<br />
であることがわかる。ただし、最後の不等式には、実数の二乗は必ず0以上になることを用いた。以上から、$x>0$のとき、つねに<br />
\begin{equation*}<br />
a^3+b^3+x^3-3abx \geq 0<br />
\end{equation*}<br />
が成り立つので、$x=c$とすれば、<br />
\begin{equation*}<br />
a^3+b^3+c^3-3abc \geq 0 \\<br />
\frac{a^3+b^3+c^3}{3} \geq abc<br />
\end{equation*}<br />
が成り立つ。ここで、$a,b,c$を$\sqrt[3]{a},\sqrt[3]{b},\sqrt[3]{c}$と書き直す。すると、<br />
\begin{equation*}<br />
\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}<br />
\end{equation*}<br />
が言える。よって、3つの値における相加相乗平均の関係が示せた。<br />
<br />
つぎに、データ数が3のときの相乗調和平均の関係式を示す。正の値$a,b,c$に対する調和平均を$s$とかけば、調和平均の定義は<br />
\begin{eqnarray*}<br />
s &=& \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \\<br />
\end{eqnarray*}<br />
である。これの逆数をとり、両辺に3をかけ、$a,b,c$に関する相加相乗平均の関係式より<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{3}{s} &=& \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}<br />
\end{eqnarray*}<br />
となる。ふたたび逆数をとって両辺を3をかければ<br />
\begin{eqnarray*}<br />
s \leq \sqrt[3]{abc}<br />
\end{eqnarray*}<br />
となる。<br />
<br />
よって、データ数が3のときの相乗調和平均の関係も示せた。<br />
以上より、値が3つであっても、<b style="color: red;">相加・相乗・調和平均の関係</b>すなわち、<br />
\begin{equation*}<br />
\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \leq \sqrt[3]{abc} \leq \frac{a+b+c}{3}<br />
\end{equation*}<br />
が成り立つことが言える。<br />
<br />
<br /></div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-41599514535384338322015-03-09T23:20:00.000+09:002015-10-25T10:28:28.967+09:00大きな数に関するトピック5 -3^3^3^3と10^80の比較。宇宙の全原子数との比較指数のタワー表記の記事(<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/beginequation-333-endequation-729.html">詳細</a>)において、<br />
\begin{equation*}<br />
3 \uparrow\uparrow4 = 3^{3^{3^3}}=3^{3^{27}}=3^{7625597484987} \\<br />
\end{equation*}<br />
という数が出てきました。指数のタワー表記がいかに簡単に膨大な数を表現できるかを実感してもらうために、この数がどれくらいの大きさのものなのかを考えます。<br />
<br />
今まで、アボガドロ定数や地球の表面積、地球や宇宙の年齢と数を比較してきましたが、今回は宇宙にある(観測可能な)全原子数$10^{80}$と比較します。<br />
<br />
必要な知識<br />
- 指数のタワー表記(詳細)<br />
- 常用対数の扱い<br />
<br />
<span style="color: blue;">当記事は、現在 iPhone からの閲覧で数式が一部、正しく表示されないとの報告を受けて対処中です。ご迷惑をおかけしております。</span><br />
<br />
<a name='more'></a><br />
<br />
まずは、$3^{7625597484987}$を10のべきに近似する。<br />
\begin{equation*}<br />
3^{7625597484987} = 10^x<br />
\end{equation*}<br />
として、両辺を底が10の対数をとれば、<br />
\begin{align}<br />
7625597484987 \log_{10} 3 = x<br />
\end{align}<br />
となる。$\log_{10} 3 \simeq 0.47$であるから、<br />
\begin{align}<br />
x \simeq 7625597484987 × 0.47 \simeq 4×10^{12}<br />
\end{align}<br />
よって、<br />
\begin{equation*}<br />
3 \uparrow\uparrow4 = 3^{7625597484987} \simeq 10^{4×10^12} = 10^{4000000000000}<br />
\end{equation*}<br />
である。<br />
<br />
宇宙論によると、(観測可能な)宇宙内に存在する原子数はおよそ$10^{80}$である。それに対して、$3 \uparrow\uparrow4 \simeq 10^{4000000000000} $であるから指数のタワー表記の凄まじさが良く分かると思う。<br />
<br />
言い換えるならば、<span style="color: red;">$3 \uparrow\uparrow4 $という数字を指数を使わずにまともに書き下す(注1)としたら、宇宙に存在する全原子をインクにかえて、1粒子で1桁かけると仮定しても到底書き尽くせない</span>。<br />
<br />
指数のタワー表記、おそるべし。<br />
<br />
<br />
(注1)もちろん、それができるほどの面積があったとしたらの話だが…。Unknownnoreply@blogger.com6tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-28785257766669524292015-03-09T20:52:00.001+09:002016-02-23T13:15:18.874+09:00大きな数に関するトピック4 ―地球の表面に何文字かけるか―問1.地球の表面に文字をびっしり書き占めたら何文字かくことができるでしょうか。<br />
<div>
<br /></div>
<div>
問2.18gの水に含まれる水分子の一つ一つに番号をふっていき(注1)、それを順に書き出すとしたら、どれぐらいの面積が必要でしょうか。</div>
<div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
先日の記事でも扱いましたが、${\rm H_2O}$の質量数は18gなので、水18gには$6.0×10^{23}$個の原子が含まれています。アボガドロ定数<br />
<br />
\begin{equation*} {N_A=6.02214129×10^{23}} \end{equation*}<br />
<br />
は、1molに含まれる粒子数を表す定数でした。本稿では、上の問をヒントに$10^{23}$という数の大きさを考えます。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
必要な知識</div>
<div>
- 指数の簡単な取扱い</div>
<div>
- 比例式の計算</div>
<div>
- 面積の換算</div>
<div>
- アボガドロ定数</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<a name='more'></a><br /></div>
<div>
結果は、どれくらいの大きさで文字を書くかに依存するので、下の図程度の詰め具合で字をかいていくとしましょう。</div>
<div>
<br />
<br /></div>
<!--
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhA0GF2zm26n1EsOCx-LR_0ThlPsB-iejnqK_S_gnnbyMp7SizK3Zkuyuey1LrfGIGiYVy0xVU3-rbLpBEf2vAB79xOaN4aGv4V1Wj4JzZa-JU79lRsaZZJTPF_dXMlMd01f2SHM7r3yPdS/s1600/11689.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="225" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhA0GF2zm26n1EsOCx-LR_0ThlPsB-iejnqK_S_gnnbyMp7SizK3Zkuyuey1LrfGIGiYVy0xVU3-rbLpBEf2vAB79xOaN4aGv4V1Wj4JzZa-JU79lRsaZZJTPF_dXMlMd01f2SHM7r3yPdS/s1600/11689.jpg" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
ちなみに円周率です。</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div>
縦14cm×横9cmの面積の中に480文字書くことができました。</div>
<div>
<br /></div>
-->
<div>
<a href="http://www.shinrin-ringyou.com/forest_world/menseki_world.php">森林・林業学習館のこのページ</a>にさしこまれた資料の注を参考に地球の表面積はおよそ$510,000,000{\rm km^2}$とします。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
海の上に文字はかけませんが、計算がめんどくさくなるだけなので、海を含む地球の表面すべてに文字がかけると仮定しましょう。地球の表面にかける文字数を$x$字とすれば、</div>
<div>
<br /></div>
\begin{equation*}<br />
126 {\rm cm^2} : 480字 = 510,000,000{\rm km^2} : x字<br />
\end{equation*}<br />
<div>
<br /></div>
<div>
という比例式がなりたつ。ここで、$510,000,000{\rm km^2}=5.1×10^{18} {\rm cm^2}$に注意して</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\begin{equation*}<br />
x 字 = \frac{5.1×10^{18} {\rm cm^2}×480字}{126 {\rm cm^2}} \simeq 1.9×10^{19} 字<br />
\end{equation*}</div>
<div>
<br /></div>
<div>
である。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
よって、<span style="color: red;"><b>地球表面にビッシリ文字を書き連ねれば$10^{19}$字まで文字をかける</b></span>ことが分かります。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
そして、アボガドロ定数は$6.0×10^{23}$です。<b><span style="color: red;">18gの水分子中に含まれる粒子に1つ1つ番号をふり、それを書きだそうしたとき、地球の表面積を同じ大きさの紙をつかっても到底書きつくせない</span></b>ということですね。</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
(注1)量子論を学べば分かることだが、これは原理的に不可能なことである。量子論によると同種粒子は原理的に区別できないので名前をつけて書き出していくことはできない。本稿は「それができたら」という仮定のもとでアボガドロ定数の大きさを実感することが目的。</div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-65345578744224966022015-03-09T19:08:00.001+09:002015-10-25T10:28:29.034+09:00負の整数の多重階乗について(ガンマ関数不要)<div>
先日の記事では、$0!=1,0!!=1$など、<b>0のn重階乗が0</b>と定義される理由を説明しました(<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/0-1.html">詳細</a>)が、この考え方を応用して、<span style="color: red;"><b>負の整数の多重階乗が理解できます</b></span>。つまり、</div>
<div>
\begin{equation*}<br />
(-1)!!,(-4)!!!<br />
\end{equation*}<br />
などが定義できるということです。なお、<span style="color: red;"><b>(-2)!や(-1)!が発散する</b></span>ことも本稿で確認します。<br />
<br />
必要な知識<br />
- n重階乗について(<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/n.html">詳細</a>)<br />
- 0のn重階乗について(<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/0-1.html">詳細</a>)<br />
- 高校で学習する程度の極限<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
以下では、$0!=0!!=0!!!=\dots=1$を断りなく用いる。これの証明は<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/0-1.html#more">こちら</a>。<br />
<br />
<h2>
<span style="font-size: large;">負の整数の2重階乗</span></h2>
<br />
$0!!$は、<br />
<br />
\begin{eqnarray*}<br />
(n-2)! &=& (n-2)×(n-4)×(n-6)×\dots \\<br />
&=& \frac{n×(n-2)×(n-4)×\dots}{n} \\<br />
&=& \frac{n!!}{n}<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
<div>
この両辺にn=2を代入することによって$0!!=1$と定義された。この拡張方法を許すとすれば、ここに$n=1$を代入してみよう。すると、<br />
<br />
\begin{eqnarray*}<br />
(1-2)!! &=& \frac{1!!}{1} \\<br />
(-1)!! &=& 1<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
となり、<span style="color: red;"><b>$(-1)!!=1$という負の2重階乗の値</b></span>が求まってしまった!<br />
同様にして、$n=0$を代入してみると、<br />
\begin{eqnarray*}<br />
(0-2)!! &=& \frac{0!!}{0} \\<br />
(-2)!! &=& \pm \infty<br />
\end{eqnarray*}</div>
<div>
<br /></div>
<div>
かなり適当な書き方で数学が専門の人に怒られてしまいそうだが、<span style="color: red;"><b>$(-2)!!$はどうやら発散している</b></span>らしいことがわかった。もう少し、丁寧に書くならば、</div>
<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\lim_{n \nearrow -2} n !! &=& \lim_{n \nearrow 0} \frac{1}{n} = - \infty \\<br />
\lim_{n \searrow -2} n !! &=& \lim_{n \searrow 0} \frac{1}{n} = +\infty<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
<br /></div>
<div>
とかでどうだろう。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
次に、$n=-1,-2$を代入すれば、</div>
<div>
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
(-1-2)!! &=& \frac{(-1)!!}{-1} \\<br />
(-3)!! &=& -1 \\ \\<br />
(-2-2)!! &=& \frac{(-2)!!}{-2} \\<br />
(-4)!! &=& \infty<br />
\end{eqnarray*}</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
とまたまた、負の2重階乗の値が求まった一方で、$(-4)!!$は発散してしまった(ただし、$(-2)!!$と発散の方向が逆)ようだ。これを繰り返していけば、どうやら、(-偶数)!!は発散してしまうが、(-奇数)!!であれば値が求まるということが分かる。そこで、$n$に奇数をどんどん入れていけば、次のようになる。</div>
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
(-1)!! &=& 1 \\<br />
(-3)!! &=& -1 \\<br />
(-5)!! &=& \frac{1}{3} \\<br />
(-7)!! &=& -\frac{1}{15} \\<br />
(-9)!! &=& \frac{1}{105} \\<br />
(-11)!! &=& -\frac{1}{945} \\<br />
(-13)!! &=& \frac{1}{10395} \\<br />
(-15)!! &=& -\frac{1}{135135}\\<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
これを注意深く観察すれば、1でない自然数$k$と自然数$n$について</div>
\begin{eqnarray*} <br />
(-k)!!=<br />
\left\{ <br />
\begin{array}{l}<br />
\frac{1}{k!!} & (k=4n+1) \\ <br />
-\frac{1}{k!!} & (k=4n+3) \\<br />
発散 & (k=2n)<br />
\end{array} <br />
\right.<br />
\end{eqnarray*}</div>
<div>
<br />
<div>
となることがわかる。このようにして、<span style="color: red;"><b>負の奇数の二重階乗が定義できる</b></span>。</div>
<div>
<br /></div>
<h2>
<span style="font-size: large;">負の整数の3重階乗</span></h2>
<div>
負の整数の3重階乗についても、以上と同様の議論ができる。(-3の倍数)!は発散することがすぐに分かる一方で、以下のように負の三重階乗の値を求められる。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
(-1)!!! &=& 1 \\<br />
(-2)!!! &=& 1 \\<br />
(-4)!!! &=& -1 \\<br />
(-5)!!! &=& -\frac{1}{2} \\<br />
(-7)!!! &=& \frac{1}{4} \\<br />
(-8)!!! &=& \frac{1}{10} \\<br />
(-10)!!! &=& -\frac{1}{28} \\<br />
(-11)!!! &=& -\frac{1}{80}\\<br />
(-13)!!! &=& \frac{1}{280} \\<br />
(-14)!!! &=& \frac{1}{880}\\<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
<div>
<div>
これを注意深く観察すれば、2より大きい自然数$k$と自然数$n$について</div>
\begin{eqnarray*}<br />
(-k)!!!=<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
\frac{1}{k!!!} & (k=6n+1,6n+2) \\<br />
-\frac{1}{k!!!} & (k=6n+4,6n+5) \\<br />
発散 & (k=3n)<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\end{eqnarray*}</div>
<div>
<br />
<div>
となる。</div>
</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<h2>
<span style="font-size: large;">負の整数のm重階乗</span></h2>
</div>
<div>
$m$は$m > 1$を満たす自然数とする。今までの議論と同様にして、負のm重階乗を考えることができる。</div>
<div>
$k>3$に関して</div>
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
(-k)!!!!=<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
\frac{1}{k!!!!} & (k=8n+1,8n+2,8n+3) \\<br />
-\frac{1}{k!!!!} & (k=8n+5,8n+6,8n+7) \\<br />
発散 & (k=4n)<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\end{eqnarray*}</div>
<div>
<br /></div>
<div>
$k>4$に関して</div>
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
(-k)!!!!!=<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
\frac{1}{k!!!!!} & (k=10n+1,10n+2,10n+3,10n+4) \\<br />
-\frac{1}{k!!!!!} & (k=10n+6,10n+7,10n+8,10n+9) \\<br />
発散 & (k=5n)<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\end{eqnarray*}</div>
<div>
といった具合になる。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<h2>
<span style="font-size: large;">負の整数の1重階乗</span></h2>
</div>
<br />
\begin{eqnarray*}<br />
(n-1)!=\frac{n!}{n}<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
に$n=0$をいれると、</div>
\begin{eqnarray*}<br />
(0-1)! &=& \frac{0!}{0} \\<br />
(-1)! &=& \pm \infty<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
となり、発散。続いて、$n=-1$を入れても、<br />
<br />
\begin{eqnarray*}<br />
(-1-1)! &=& \frac{(-1)!}{-1} \\<br />
(-2)! &=& \mp \infty<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
となり、またまた発散する。このように<span style="color: red;"><b>自然数$n$に関して$(-n)!$は発散してしまう</b></span>。<br />
<br />
<br />
補足:<br />
<br />
<br />
階乗はガンマ関数の理論により拡張されるが、このガンマ関数をプロットした下のグラフを見ても、(-自然数)!の部分で発散していることが分かる。<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGggKTlMJmYiwYmjS1u5F1YR8z1BbtuAHA8gaMteqyrihe86DxSs6mjBK6LzxGNU_uOulsoM42UDbRET8O3HHsE-jUPyj-0J5VWMuO7F4vHCZ_V2avrv6542643NGQ9f7Vzyu3NJdJTWhe/s1600/gmma.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGggKTlMJmYiwYmjS1u5F1YR8z1BbtuAHA8gaMteqyrihe86DxSs6mjBK6LzxGNU_uOulsoM42UDbRET8O3HHsE-jUPyj-0J5VWMuO7F4vHCZ_V2avrv6542643NGQ9f7Vzyu3NJdJTWhe/s1600/gmma.png" height="202" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">横軸nに対して、縦軸はn!と考えてよい。これは階乗をより一般化したガンマ関数をプロットした図である。</td></tr>
</tbody></table>
0!=1になっているところなどにも注目されたい。</div>
</div>
<h2>
</h2>
</div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-65956954710257897922015-03-09T15:39:00.001+09:002015-10-25T10:28:29.053+09:000! = 1 の理由と0のn重階乗(0!,0!!,0!!! …)階乗の定義に際して、\begin{equation*}<br />
0! = 1<br />
\end{equation*}<br />
<div>
が約束されています。この理由は何でしょうか。また、</div>
\begin{equation*}<br />
0!! <br />
\end{equation*}<br />
<div>
はいくつになるのでしょうか。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
必要な知識</div>
<div>
- 階乗の定義</div>
<div>
- 組み合わせ ${}_n \mathrm{C} _r$ の計算方法</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<a name='more'></a><br /></div>
<h2>
<span style="font-size: large;">$0!=1$の説明1</span></h2>
<div>
<br /></div>
<div>
なぜ$0!=1$と定義するのかに対する最も端的な答えは「その方が都合が良いから」です。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
場合の数の単元で学習する組み合わせ${}_n \mathrm{C} _r$において、$0!=1$と定義しておけば非常に都合の良いことを確認してみましょう。</div>
<br />
\begin{eqnarray}<br />
{}_n \mathrm{C} _r & = & \frac{n!}{r!(n-r)!} \\<br />
\end{eqnarray}<br />
<div>
<br /></div>
<div>
は、$n$個の要素の中から、$r$個選ぶ組み合わせは何通りあるのかを意味するものとして導入されました。$n=r$のときは、$n$個の中から$n$個選ぶ通りは1通りであるから、</div>
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
{}_n \mathrm{C} _n & = & 1 \\<br />
\end{eqnarray*}</div>
<div>
となるはずですが、(1)の右辺は$r=n$の時、</div>
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{n!}{n!(n-n)!}=\frac{n!}{n!0!}=\frac{1}{0!} \\<br />
\end{eqnarray*}</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div>
となります。ここで、$0!=1$と定義してあれば、最右辺=1とできるので、とても都合が良いのがよくわかります。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
もうひとつ$0!=1$で都合がよい例を紹介します。$e$をべき級数展開すれば、</div>
<div>
<br /></div>
\begin{equation*}<br />
e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots<br />
\end{equation*}<br />
<div>
となります(<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/e.html">詳細</a>)。このとき、$0!=1$と定義してあれば、</div>
\begin{equation*}<br />
e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}<br />
\end{equation*}<br />
<div>
と綺麗にまとめることができます。</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
これから学習する数学では上であげた二つの例以外にも$0!=1$としておけば、非常に都合が良い場面が多々あります。そのため、$0!=1$と定義するのです。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<h2>
<span style="font-size: large;">$0!=1$の説明2</span></h2>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
もう一つ、$0!=1$の説明としてしばしば採用されるのが下の考え方です。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
$(n-1)!$を考え、ここに$n=1$を代入することによって$0!$を求めるというものです。</div>
<div>
<br /></div>
\begin{eqnarray*}<br />
(n-1)! &=& (n-1)×(n-2)×\dots×2×1 \\ <br />
&=& \frac{n×(n-1)×(n-2)×\dots×2×1}{n} \\<br />
&=& \frac{n!}{n}<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
<br /></div>
<div>
この両辺に$n=1$を代入すれば、</div>
\begin{eqnarray*}<br />
(1-1)! &=& \frac{1!}{1} \\<br />
0! &=& 1<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
となります。</div>
<div>
<br />
<h2>
<span style="font-size: large;">$0!!=1$</span></h2>
まずは、$0!!$を$0!=1$を定義した時と同じように考える。<br />
<div align="left" class="MsoNormal">
<br /></div>
\begin{eqnarray}<br />
(n-2)! &=& (n-2)×(n-4)×(n-6)×\dots \\ <br />
&=& \frac{n×(n-2)×(n-4)×\dots}{n} \\<br />
&=& \frac{n!!}{n}<br />
\end{eqnarray}<br />
<div align="left" class="MsoNormal">
<br /></div>
<div align="left" class="MsoNormal">
<span style="font-family: 'MS Pゴシック';">ここで<span lang="EN-US">$n=2$</span>を代入すると、<span lang="EN-US"><o:p></o:p></span></span></div>
<div align="left" class="MsoNormal">
<br /></div>
<br />
<br /><br />\begin{eqnarray*}<br /><br />(2-2)!! &=& \frac{2!!}{2} \\<br /><br />0!! &=& 1<br /><br />\end{eqnarray*}<br />
負の階乗の知識(詳細)をもっていれば、この定義が、例えば$\sin^n x$の積分の公式を二重階乗を用いて表す(<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/sinncosn.html#more">詳細</a>)ときに非常に辻褄があうことが納得できる。<br />
<div align="left" class="MsoNormal">
<span lang="EN-US" style="font-family: 'MS Pゴシック'; font-size: 13.5pt;"><br /></span></div>
<h2>
<span style="font-size: large;">$0\underbrace{!!\cdots!}_{m個}=1$</span></h2>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
同様にして、0のm重階乗$0\underbrace{!!\cdots!}_{m個}$を考える。</div>
<div>
<br /></div>
\begin{eqnarray*}<br />
(n-m)\underbrace{!!\cdots!}_{m個} &=& (n-m)×(n-2m)×(n-3m)×\dots \\ <br />
&=& \frac{n×(n-m)×(n-2m)×\dots}{n} \\<br />
&=& \frac{n!!\cdots!}{n}<br />
\end{eqnarray*}<br />
<h2>
</h2>
<div>
ここに$n=m$を代入すれば、</div>
<div>
<br /></div>
<br />
<br />
\begin{eqnarray*}<br />
<br />
(m-m)\underbrace{!!\cdots!}_{m個} &=& \frac{m!!\cdots!}{m} \\<br />
<br />
<br />
0 \underbrace{!!\cdots!}_{m個} &=& 1<br />
<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
<br />
<div>
である。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
よって、<span style="color: red;"><b>$0!=0!!=0!!!=\dots=1$</b></span>が説明できた。</div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-29116413548082224062015-03-09T13:46:00.000+09:002016-01-24T13:31:42.356+09:00高校数学で学ぶ演算子とその線形性何らかの(数学的)処理を指示するものを「演算子」と呼びます。<br />
たとえば、"+"という演算子はふたつの数を足すことを意味し、"√"という演算子は根号の中の平方根を求めることを意味します。<br />
<br />
今回は、高校数学で登場する演算子とその線形性について注目してみます。<br />
<br />
必要な知識<br />
- とくになし<br />
<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
<br />
四則演算に用いられる「+×-÷」や$_{\it n}\mathrm{C}_{\it r}$<span style="background-color: white; font-size: medium;">な</span>ど二つの数字間にはたらく演算子を<b>二項演算子</b>と呼び、$\sin$などの一つの数字に働く演算子を<b>単項演算子</b>と呼びます。$\sin$は続く数(や文字)に対応する正弦を求めよという演算子でした。<br />
<br />
単項演算の多くは、演算子の後ろに演算子を働かせたいものを書きます。例えば、$\sin \pi$や$\frac{d}{dx}x^2$などを考えれば、確かに演算子の後ろに演算子を働かせたいものがきていることが理解できると思います。一方で、例外的に、$!$は演算子が演算子を働かせたいものの後ろに来ます。$5!$などと表記しますが、$!5$という表記はしませんね。<br />
<br />
高校までの数学で登場する演算子を思いつく限り書いてみます。<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
+,-,\pm,×,÷,/, ^n,\lim,\sin,\cos,\tan,\log,_{\it n}\mathrm{C}_{\it r},',_{\it n}\mathrm{P}_{\it r},\frac{d}{dx},\int,\sum,!,\sqrt[n]{},・<br />
\end{equation*}<br />
<br />
高校数学の教科書には載っていませんが、次のような演算子もよく使われます。<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
_{\it n}\mathrm{\Pi}_{\it r},\prod,{\rm {Re}},{\rm {Im}},{\rm mod},!!<br />
\end{equation*}<br />
<div>
<br /></div>
演算子には、「線形」のものと「非線形」のものに区別されます。線形という言葉の意味は以下の通り。<br />
<br />
<u>定義</u><br />
次の(i),(ii)の両方をみたすとき、$f(x)$は線形性をもつという。<br />
(i) $f(x+y) = f(x) + f(y) $<br />
(ii) $f(\alpha x) = \alpha f(x)$<br />
<br />
これを満たす演算子と満たさない演算子があることをしっかりと認識しないと、よく高校生にみられる誤解がおこります。<br />
<br />
たとえば、総和記号シグマは<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) & = & \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k \\<br />
\sum_{k=1}^{n} \alpha k & = & \alpha \sum_{k=1}^{n} k<br />
\end{eqnarray*}<br />
などが成立しているので、線形な演算子です。ほかにも、<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\lim_{n \to \infty} (a_n+\alpha b_n) &=& \lim_{n \to \infty} a_n + \alpha \lim_{n \to \infty} b_n \\<br />
\frac{d}{dx} \{ f(x) + \alpha g(x) \} & = & \frac{d}{dx} f(x) + \alpha \frac{d}{dx} g(x) \\<br />
\int_{a}^{b} \{ f(x) + \alpha g(x) \} dx &=& \int_{a}^{b} f(x) + \alpha \int_{a}^{b} g(x) dx<br />
\end{eqnarray*}<br />
などが成立しているので、これらも線形な演算子であることがわかります。しかし、明らかに、<br />
\begin{eqnarray*}<br />
(a + b) ! & = & a! + b! \\<br />
\log (x + y) & = & \log x + \log y \\<br />
\sqrt{a+b} & = & \sqrt{a} + \sqrt{b}<br />
\end{eqnarray*}<br />
は一般には正しくない(注1)ので、これらの演算子は非線形です。<br />
<br />
数学を学ぶにつれて、扱う演算子が増えていきますが、そのつど、<b style="color: red;">演算子が線形なのか非線形なのかを意識するように心掛けてくさい</b>。これを意識せず、線形の演算子にしか適応できない計算規則を乱用した、$\sin(x+y)=\sin(x)+\sin(y)$などという勘違いが起きてしまいます(こういう勘違いをする高校生が本当に多い!)。<br />
<br />
<br />
(注1) ここでいう「一般には正しくない」とは、たとえば、$a$と$b$の値によっては等号が成立するが、全ての$a$と$b$について成立しているわけではないという意味です。Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-65456792617267805812015-03-08T22:00:00.001+09:002015-10-25T10:28:29.044+09:00√(素数)は無理数であることの証明自然数$n$が素数であるならば、$\sqrt{n}$は無理数であることを証明します。<br />
<br />
$\sqrt{2}$が無理数であることを証明しろという大学受験の定番の問題よりも一般性の高い問いです。<br />
<br />
<br />
必要な知識<br />
- 背理法<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
<br />
当然、これも背理法で攻めます。<br />
<br />
<h2>
<span style="font-size: large;">
証明その1</span></h2>
<br />
素数$n$に関して$\sqrt{n}$が有理数であると仮定すると、整数$p,q$を用いて、$\sqrt{n}$は<br />
\begin{equation*}<br />
\sqrt{n} = \frac{q}{p}<br />
\end{equation*}<br />
という既約分数で表される。両辺を二乗して、<br />
\begin{equation*}<br />
n = \frac{q^2}{p^2}<br />
\end{equation*}<br />
両辺に$p^2$をかけて、<br />
\begin{equation}<br />
np^2 = q^2<br />
\end{equation}<br />
を見る。$q^2$が素数$n$の倍数であるから、$q$も$n$の倍数である。したがって、適当な整数$Q$を用いて$q=nQ$と表せる。すると(1)より<br />
\begin{equation*}<br />
np^2 = n^2Q^2<br />
\end{equation*}<br />
とかける。両辺を$n$でわれば、<br />
\begin{equation*}<br />
p^2 = nQ^2<br />
\end{equation*}<br />
となる。$p^2$が$n$の倍数となるので、$p$も$n$の倍数となる。<br />
<br />
$p$も$q$も$n$の倍数であるというのは、$\frac{q}{p}$が既約分数であるということに矛盾する。<br />
<br />
よって、$\sqrt{n}$は無理数である。<br />
<br />
<br />
補足:上の証明が理解できない場合は下の定理を確認しよう。<br />
<br />
自然数の積$p×q$が素数$n$の倍数ならば、$p,q$の少なくとも片方が$n$の倍数である。<br />
よって$p^2=p×p$がnの倍数ならば、$p$と$p$の少なくとも片方が n の倍数である。<br />
すなわち $p^2$が$n$の倍数ならば $p$ も $n$ の倍数である。<br />
<br />
<br />
<h2>
<span style="font-size: large;">
証明その2(実は証明その1と全く同じ)</span></h2>
<div>
素数$n$に関して$\sqrt{n}$が有理数であると仮定すると、1ではない整数$p$と適当な整数$q$を用いて、$\sqrt{n}$は<br />
\begin{equation*}<br />
\sqrt{n} = \frac{q}{p}<br />
\end{equation*}<br />
という既約分数で表される。両辺を二乗して、<br />
\begin{equation*}<br />
n = \frac{q^2}{p^2}<br />
\end{equation*}<br />
とかける。ところで、素数は整数であるが、右辺はこの分数が既約であるという仮定から、これ以上は約分することができないので、整数ではない。<br />
<br />
整数=分数 となり、矛盾。よって、$\sqrt{n}$は無理数である。</div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-22125883984501682072015-03-07T23:51:00.000+09:002015-10-25T10:28:28.905+09:00∫f(cos x) dx = ∫f(sin x) dx (0~π/2)の証明$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ において連続な関数$f$について<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\int_{0}^{\pi/2} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\pi/2} f(\cos x) dx<br />
\end{equation}<br />
<br />
が成立します。これを証明します。高3生ならさほど難しくない証明なので、まずは自力でやってみてから、続きを読んでください。<br />
<br />
必要な知識<br />
- 三角関数の加法定理<br />
- 高校数学程度の積分<br />
<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\sin \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) &=& \cos \theta \\<br />
\cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) &=& \sin \theta \\<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
<br /></div>
を用いる(これが納得いかない場合は加法定理を使えば、ただちに示せるので確認せよ)。<br />
<br />
(1)の右辺を$x=\frac{\pi}{2}-\theta$で置換。<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\int_{0}^{\pi/2} f(\cos x) dx &=& \int_{\pi/2}^{0} f \left( \cos (\frac{\pi}{2} - \theta) \right) (- d\theta) \\<br />
&=& \int_{0}^{\pi/2} f(\sin \theta) d\theta <br />
\end{eqnarray*}<br />
定積分の結果は、積分変数によらないから、<br />
\begin{equation*}<br />
\int_{0}^{\pi/2} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\pi/2} f(\cos x) dx<br />
\end{equation*}<br />
が示せた。Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-57237240311898028002015-03-07T22:17:00.000+09:002015-10-25T10:28:29.007+09:00sin x=2 を満たすx は??\begin{equation*}<br />
\sin x=2<br />
\end{equation*}<br />
をみたす$x$は存在するか。<br />
<br />
<br />
という問いについて考えます。<br />
<br />
\begin{equation}<br />
-1 \leq \sin x \leq 1<br />
\end{equation}<br />
なので、方程式$\sin x=2$を満たす解は「ない」というのは間違いです。不等式(1)は$x$の定義域が実数の時にのみ有効です。この問いでは、$x$を実数とは限定していません(高校数学では文字の定義に断りがない場合は暗黙に実数と了解されてしまうことも多いですが…)。三角関数の定義域は複素数にまで拡張できます。<br />
<div>
<br /></div>
<br />
以下はオイラーの公式<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
e^{ix}=\cos x + i \sin x<br />
\end{equation*}<br />
を既知とするので注意してください(オイラーの公式がなにものか知らなくても、形式的にこの公式を受け入れれば、理解できます)。<br />
<br />
必要な知識<br />
- オイラーの公式<br />
- 対数関数<br />
- 2次方程式の解の公式<br />
<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
e^{-ix}=\cos x + i \sin (-x) = \cos x - i \sin x<br />
\end{equation*}<br />
<div>
であるから、</div>
<div>
<br /></div>
\begin{equation*}<br />
e^{ix}-e^{-ix}= ( \cos x + i \sin x ) - (\cos x - i \sin x ) = 2i \sin x<br />
\end{equation*}<br />
<div>
<br />
<div>
<br />
<div>
これを$\sin x$について解けば、</div>
<div>
\begin{equation*}<br />
\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}} {2i}<br />
\end{equation*}</div>
<div>
となる。これが2になる$x$を求めたい。</div>
<div>
<br /></div>
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{e^{ix}-e^{-ix}} {2i} &=& 2 \\<br />
e^{ix} - e^{-ix} &=& 4i \\<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
両辺に$e^{ix}$をかけて、</div>
\begin{eqnarray*}<br />
e^{2ix} - 4ie^{-ix} -1 &=& 0 \\<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
となる。$e^{ix}$を$X$とおけば、上の式は$X$に関する2次方程式なので解の公式を用いて(注1)</div>
\begin{eqnarray*}<br />
X = e^{ix} = \frac{4i \pm \sqrt{3}i}{2} = (2 \pm \sqrt{3} )i<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
となる。$e$を底とする対数をとれば(複素数の世界での対数の定義の詳細は<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/blog-post_4.html#more">こちら</a>)、</div>
<div>
\begin{eqnarray}<br />
ix = \log ( 2 \pm \sqrt{3} )i = \log i + \log (2\pm \sqrt{3})<br />
\end{eqnarray}</div>
<div>
である。ここで、$\log i$について考える。$n$を任意の整数とすれば</div>
<div>
<br /></div>
\begin{eqnarray*}<br />
e^{i\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi \right)} = \cos \left(\frac{\pi}{2}+2n\pi \right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2}+2n\pi \right) = i<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
であるから、</div>
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
\log i = i\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi \right)<br />
\end{eqnarray*}</div>
<div>
である。これを式(2)に代入して、</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
ix = i\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi \right) + \log (2\pm \sqrt{3})<br />
\end{eqnarray*}</div>
<div>
<br /></div>
<div>
よって、$\sin x = 2$をみたす$x$は</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
x = \frac{\pi}{2}+2n\pi - i \log (2\pm \sqrt{3})<br />
\end{eqnarray*}</div>
<div>
<br /></div>
<div>
である。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
虚数は、<br />
<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
<br />
x^2+1=0<br />
<br />
\end{equation*}を解くために導入されたという説明をされてきた人が多いと思います(歴史的には大嘘です)。数の世界を複素数まで広げることで、解けない2次方程式が解けるようになった訳ですが、<span style="color: red;"><b>虚数を用いることで実数の世界では解けない三角方程式を解くことができる</b></span>ようになります。</div>
</div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-33651976192277827602015-03-07T19:25:00.001+09:002015-10-25T10:28:28.947+09:00sin,cos,tan以外の三角比とそれらを結ぶ関係式の図<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
高校でならう三角比は次のような三角形において</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEwH0JIdjEISfsmWWzi70iWWSyrCmS6rzbG7kjCvj0vMlr-cLbTq2pbUCN7w3Ht7QpkRcIME1TvdxHlj5ei62c8AwAf5v5BlIdkPU7DhqkvY8ScezJs_zaQz8GtV_RCUQxzzJFcg2_FMLd/s1600/image001.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEwH0JIdjEISfsmWWzi70iWWSyrCmS6rzbG7kjCvj0vMlr-cLbTq2pbUCN7w3Ht7QpkRcIME1TvdxHlj5ei62c8AwAf5v5BlIdkPU7DhqkvY8ScezJs_zaQz8GtV_RCUQxzzJFcg2_FMLd/s1600/image001.png" height="184" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\sin \theta &=& \frac{b}{c} \\<br />
\cos \theta &=& \frac{a}{c} \\<br />
\tan \theta &=& \frac{b}{a}<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
と定義される3つで、上から順に、正弦、余弦、正接などと呼ばれます。<br />
<br />
しかし、直角三角形の辺の長さの比のとり方はこれ以外にもあります。<br />
<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
<br />
<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\csc \theta &=& \frac{c}{b} \\<br />
\sec \theta &=& \frac{c}{a} \\<br />
\cot \theta &=& \frac{a}{b}<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
これらは、上から順に余割(コセカント)、正割(セカント)、余接(コタンジェント)と呼ばれ、それぞれ、$\sin \theta,\cos \theta,\tan \theta$の逆数(≠逆関数 注1)の関係にあります。<br />
<br />
また、これらには、<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta &=& 1 \\<br />
\tan^2 \theta + 1 &=& \sec^2 \theta \\<br />
1 + \cot^2 \theta &=& \csc^2 \theta<br />
\end{eqnarray*}<br />
という関係がある。これらを覚えるのは大変なので、下の図を頭に入れておけばよい。<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxLnsjqOSHjvwP1J00lYn7bD1dSEIOP-SmXfAkO9oXEQPLVOViWurRcNUSU9oDwPgtl8jfa5LbE5YSnhdh9gg2qu8JBkBsY9T81PB7l0H6er4anzS4TbRRL8e1zca9SSOpK_rSGOLkQB75/s1600/image023.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxLnsjqOSHjvwP1J00lYn7bD1dSEIOP-SmXfAkO9oXEQPLVOViWurRcNUSU9oDwPgtl8jfa5LbE5YSnhdh9gg2qu8JBkBsY9T81PB7l0H6er4anzS4TbRRL8e1zca9SSOpK_rSGOLkQB75/s1600/image023.png" height="213" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
この図は、それぞれの三角比の反対側にその三角比の逆数を書いたもの(たとえば、$\sin$の反対側には、$\csc$がある)であり、逆さになった正三角形の上二つの二乗の和は、下の頂点の二乗の和に等しいことを意味してる(たとえば、$1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta$)。</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
定義された余割、正割、余接はいずれも正弦、余弦、正接と同様に定義域を拡張することができる。</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$y=\sin x$と$y=\csc x$のグラフ</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_dehXhL6KOR4GUzTJu51tpMJWFBS7XRUhq8h-dkRPJ1KEDhr1YMsbqlTMVVxDW3jV29jPxNaBony-r52VYeM243N8eLk53G2YO55j5bloJ3yodK0HkFCyMRRxqY_iDbOhTPw9HbRLXLCq/s1600/sincsc.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_dehXhL6KOR4GUzTJu51tpMJWFBS7XRUhq8h-dkRPJ1KEDhr1YMsbqlTMVVxDW3jV29jPxNaBony-r52VYeM243N8eLk53G2YO55j5bloJ3yodK0HkFCyMRRxqY_iDbOhTPw9HbRLXLCq/s1600/sincsc.png" height="161" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div>
$y=\cos x$と$y=\sec x$のグラフ</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhISfQLDH5q-kNYpBlFShj2lEReFDf6nI4-Lb1UGHmx3R1QSqtZonSfoK_R8kOw4A9-RHkHLe6qVQ8OWGhGoTOwnxKTgr0ST6saMoXFxqKJ6R-oDeSH6alaX5OR2d1JfDJ9lYv3mc6smljd/s1600/cossec.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhISfQLDH5q-kNYpBlFShj2lEReFDf6nI4-Lb1UGHmx3R1QSqtZonSfoK_R8kOw4A9-RHkHLe6qVQ8OWGhGoTOwnxKTgr0ST6saMoXFxqKJ6R-oDeSH6alaX5OR2d1JfDJ9lYv3mc6smljd/s1600/cossec.png" height="161" width="320" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$y=\tan x$と$y=\cot x$のグラフ</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUoFd33tSS0R4LwC2e2dVd21j7d2R1mLBhgGM0TkFPQv8KiP-6KsZPAXCh32dkGkvYpt8VxizZUObFpZyRvwF6lO7heVP6bIptW3yEo5PGou-jqIHhula1JOLaYXA_CHvM_BHsXn1D2PBI/s1600/tancot.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUoFd33tSS0R4LwC2e2dVd21j7d2R1mLBhgGM0TkFPQv8KiP-6KsZPAXCh32dkGkvYpt8VxizZUObFpZyRvwF6lO7heVP6bIptW3yEo5PGou-jqIHhula1JOLaYXA_CHvM_BHsXn1D2PBI/s1600/tancot.png" height="160" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div>
$y=\csc x$と$y=\sec x$の$y=\cot x$グラフ</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEimiZWxgSYPH0JHu3u-f9OVl0gxGkttmhsndM7hmF9GyNCxXeriqK-su7bJhIUy7IMUWWLYUJMIQ_Z6qL8LKZfGO8SiQTQY8Ac1P41vAweUMLFv-9RAFHbSShkH5MuV9UIkFxgUClWAsqy5/s1600/333d.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEimiZWxgSYPH0JHu3u-f9OVl0gxGkttmhsndM7hmF9GyNCxXeriqK-su7bJhIUy7IMUWWLYUJMIQ_Z6qL8LKZfGO8SiQTQY8Ac1P41vAweUMLFv-9RAFHbSShkH5MuV9UIkFxgUClWAsqy5/s1600/333d.png" height="159" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
注1)三角関数の逆数をとることから、これらを逆三角関数と呼ぶ人が居るが、それは誤り。逆三角関数というのは、三角関数の逆関数のことで(<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/blog-post_15.html">詳細</a>)あって、$\sec,\cos,\cot$は逆三角関数とは呼ばない。</div>
<h2 style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></h2>
<h2 style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-size: large;">
研究課題</span></h2>
<div>
<br /></div>
<div>
余割、正割、余接の加法定理を求めよ。</div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-43872268761663802722015-03-07T15:41:00.000+09:002018-04-30T23:38:20.900+09:00総乗記号Πの使い方総和を表す記号シグマ$\sum$があるように、全て掛け合わせていく総乗を表す記号$\prod$が存在します。
<br />
<br />
必要な知識<br />
- 総和記号を扱える。<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
<br />
$\sum$をシグマと呼ぶように、$\prod$をパイと呼びます。円周率を表す$\pi$は小文字のパイで、$\prod$は大文字のパイです。いずれもギリシア文字です。<br />
<br />
$\prod$の使い方は、$\sum$と全く同じです。<br />
<br />
たとえば、$a_1=2,a_2=4,a_3=6$という数列があるとき、<br />
<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\sum_{k=1}^{3}a_k=a_1+a_2+a_3=12 \\<br />
\prod_{k=1}^{3}a_k=a_1×a_2×a_3=48<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
と書きます。以下、練習問題です。<br />
<br />
<br />
問.階乗の定義を総乗記号を用いて書け。<br />
<br />
答.自然数$n$において$n$の階乗$n!$は次のように定義する。<br />
\begin{eqnarray*}<br />
n! = \prod_{k=1}^{n} k= 1×2×3×\dots×(n-1)×n<br />
\end{eqnarray*}<br />
ただし、$n!=0$と約束する。<br />
<br />
<br />
<br />
問.$a_1,a_2,\cdots,a_n$という$n$個の値を与えられたとき、相加平均と相乗平均の定義を総和記号・総乗記号を用いて書け。<br />
<br />
問.相加平均、相乗平均の順に<br />
<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} a_k &=& \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \\<br />
\left( \prod_{k=1}^{n} a_k \right)^{1/n} &=& \sqrt[n]{ a_1×a_2×\dots a_{n-1}×a_n}<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
である。<br />
<br />Unknownnoreply@blogger.com6tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-65407890243017905232015-03-07T13:44:00.000+09:002015-10-25T10:28:29.039+09:00各項の分母が等比数列、分子が等差数列のJakob Bernoulliの級数<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
<br />
\frac{1}{3} + \frac{6}{21} + \frac{11}{147} + \frac{16}{1029} + \frac{21}{7203} + \frac{26}{50421} + \frac{31}{352947}+ \cdots<br />
<br />
\end{equation*}<br />
を求めてみましょう。一見すると、めちゃくちゃな級数に見えますが、よく見ると各項の分母は初項3、公比7の等比数列、各項の分子は初項1、公差5の等比数列だということが分かります(確かめよう)。そこで、まずはより一般的に<br />
<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
<br />
\frac{a}{b} + \frac{a+c}{bd} + \frac{a+2c}{bd^2} + \frac{a+3c}{bd^3} + \frac{a+4c}{bd^4} + \cdots<br />
<br />
\end{equation*}<br />
<br />
<br />
という級数を求めることから始めます。これは、ヤコビ・ベルヌーイという17世紀の学者が研究した級数です。<br />
<br />
<br />
必要な知識<br />
- シグマの基本的な扱い方<br />
- 無限等比数列の和の公式<br />
- 等比数列、等差数列の和の公式<br />
<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
$d > 1$ とする。<br />
<br />
\begin{eqnarray*}<br />
<br />
\frac{a}{b} + \frac{a+c}{bd} + \frac{a+2c}{bd^2} + \frac{a+3c}{bd^3} + \frac{a+4c}{bd^4} + \cdots \\ <br />
<br />
<br />
= \left( \frac{a}{b} + \frac{a}{bd} + \frac{a}{bd^2} + \frac{a}{bd^3} + \frac{a}{bd^4} +\cdots \right) && \\<br />
<br />
<br />
+ \left( \frac{c}{bd} + \frac{c}{bd^2} + \frac{c}{bd^3} + \frac{c}{bd^4} +\cdots \right) && \\<br />
<br />
<br />
+ \left( \frac{c}{bd^2} + \frac{c}{bd^3} + \frac{c}{bd^4} +\cdots \right) && \\ <br />
<br />
<br />
+ \ \left( \frac{c}{bd^3} + \frac{c}{bd^4} +\cdots \right) && \\ <br />
<br />
\vdots \hspace {30px} && <br />
<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
括弧の中はいずれも公比$\frac{1}{d}$の等比級数である。$d > 1$であるから、この等比級数は収束し、公式を用いれば、<br />
<br />
\begin{eqnarray*}<br />
<br />
&& \frac{a}{b} + \frac{a+c}{bd} + \frac{a+2c}{bd^2} + \frac{a+3c}{bd^3} + \frac{a+4c}{bd^4} + \cdots \\ <br />
&=& \frac{a/b}{1-1/d}+ \frac{c/bd}{1-1/d}+ \frac{a/bd^2}{1-1/d} + \frac{a/bd^3}{1-1/d} + \cdots \\<br />
&=& \frac{a/b}{1-1/d}+ \frac{c}{d(b-1)} \left\{ 1+\frac{1}{d}+\frac{1}{d^2}+\frac{1}{d^3}+\cdots \right\} \\<br />
&=& \frac{a/b}{1-1/d}+ \frac{c}{d(b-1)} \frac{1}{1-1/d} \\<br />
&=& \frac{ad^2-ad+cd}{bd^2-2bd+b}<br />
<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
<br /></div>
<div>
となる。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
級数</div>
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{1}{3} + \frac{6}{21} + \frac{11}{147} + \frac{16}{1029} + \frac{21}{7203} + \frac{26}{50421} + \frac{31}{352947}+ \cdots<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
は、$a=1, b=3, c=5, d=7$の場合であるから、これらを代入して、</div>
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{1}{3} + \frac{6}{21} + \frac{11}{147} + \frac{16}{1029} + \frac{21}{7203} + \frac{26}{50421} + \frac{31}{352947}+ \cdots = \frac{77}{108}<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
となる。</div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-2554825027448597462015-03-07T11:45:00.001+09:002015-10-25T10:28:28.930+09:00はめこみ級数(三角数の逆数の和) 1+1/3+1/6+1/10+1/15+…はめこみ級数と呼ばれる<br />
\begin{equation*}<br />
1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\dots<br />
\end{equation*}<br />
がいくつになるか調べましょう。<br />
<br />
気持ちよく求まります。定期テストにでてきても良いぐらいのレベルの問題なので、まずは自力で考えてみてから、読み進めて下さい。<br />
<br />
必要な知識<br />
- 部分分数分解<br />
- 高校で習う級数の表し方(シグマ記号の扱い)<br />
- 1から$n$までの自然数の和<br />
<br />
<br />
<a name='more'></a><h2>
</h2>
$n$番目の分母は$n$番目の三角数になっていることに注目しよう。$n$番目の三角数というのは、1から$n$までの自然数の和のことを言う。この級数は、三角数の逆数の和である。<br />
<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\sum_{k=1}^{1} k = \frac{1(1+1)}{2} &=& 1 \\<br />
\sum_{k=1}^{2} k = \frac{2(2+1)}{2} &=& 3 \\<br />
\sum_{k=1}^{3} k = \frac{3(3+1)}{2} &=& 6 <br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
ゆえに、求めたい級数の$n$項目は</div>
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{1}{n(n+1)/2} = \frac{2}{n(n+1)}<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
とかける。部分分数分解をして、</div>
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{2}{n(n+1)} = 2 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)<br />
\end{eqnarray*}</div>
<div>
であるから、</div>
\begin{eqnarray*}<br />
&&1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\dots \\<br />
&=& 2 \left\{ <br />
\left( 1- \frac {1}{2} \right) +<br />
\left( \frac{1}{2}- \frac {1}{3} \right) + <br />
\left( \frac{1}{3}- \frac {1}{4} \right) +<br />
\left( \frac{1}{4}- \frac {1}{5} \right) + \dots<br />
\right\}\\ & = & 2<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
<div>
とかける。中括弧の中のそれぞれの項がとなりの項と打ち消しあっていることに注目した。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
まとめると<br />
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)/2} = 2<br />
\end{eqnarray*}</div>
</div>
</div>
<div>
となる。</div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-22590199706980043302015-03-07T01:14:00.000+09:002015-10-25T10:28:28.910+09:00高校生の知識だけで証明するガウス積分<div>
<br /></div>
<div>
\begin{equation*}<br />
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}<br />
\end{equation*}</div>
<div>
<br /></div>
<div>
を考えます。左辺は</div>
<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\lim_{a \to \infty} \int_{-a}^{a} e^{-x^2} dx<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
<br /></div>
<div>
を意味します(注1)。この積分を<b>ガウス積分</b>と呼び、数学や物理学では多用される非常に重要な結果です。簡単そうに見えますか?結構、難しいですよ。</div>
<div>
これを示すには、二重積分を用いて変数変換をしたり、ガンマ関数をつかったりするのがメジャーなやり方ですが、いずれも高校生には難解です。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<b><span style="color: red;">今回は、この多重積分もガンマ関数も用いずに、ほぼ高校の数学のみでガウス積分の結果を証明します</span></b>。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
「ほぼ」と書きましたが、便宜上、証明には二重階乗を用いるので、その部分だけは高校の数学の範囲を逸脱しています(ごめんなさい)。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
以下の記事では、高校で学習する微積分の知識に加えて</div>
<div>
<br /></div>
<div>
1.二重階乗[ほんの少しだけ高校の数学外] (<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/n.html" target="_blank">詳細</a>)</div>
<div>
2.$\sin^n x$の定積分の公式[高校の数学] (<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/sinncosn.html#more" target="_blank">詳細</a>)</div>
<div>
3.Wallisの公式[高校の数学のみで証明可] (<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/wallis-1.html" target="_blank">詳細</a>)</div>
<div>
<br /></div>
<div>
を利用します。理解できてない部分は記事を読んで確認してから以下を読み進めてください。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<a name='more'></a></div>
<h2>
<span style="font-size: large;">補題1 $\sin^nx$の定積分の公式</span></h2>
<div>
\begin{equation*}<br />
I_n = \int_{0}^{\pi/2} \sin^nx dx<br />
\end{equation*}と定義する。<br />
<br />
このとき、つぎの補題1が成立する。</div>
<div>
<br /></div>
\begin{eqnarray}<br />
I_{2n}&=&\frac{(2n)!}{(2^nn!)^2} \frac{\pi}{2} \\<br />
I_{2n-1}&=&\frac{(2^nn!)^2}{2n(2n)!}<br />
\end{eqnarray}<br />
<div>
<br /></div>
<div>
(証明は<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/sinncosn.html" target="_blank">こちら</a>)<br />
(二重階乗については<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/n.html">こちら</a>)</div>
<div>
<br /></div>
<h2>
<span style="font-size: large;">補題2 Wallisの公式</span></h2>
<div>
Wallisの公式<br />
\begin{equation}<br />
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \frac{(2^nn!)^2}{(2n)!} = \sqrt{\pi}\end{equation}<br />
<br />
(証明は<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/sinncosn.html#more">こちら</a>)<br />
<br />
<h2>
<span style="font-size: large;">補題3 $ \int_{0}^{1} (1-x^2)^n dx = I_{2n-1}$</span></h2>
<br />
<div>
<br /></div>
<div>
<u>補題3</u></div>
<div>
<u><br /></u></div>
\begin{equation*}<br />
\int_{0}^{1} (1-x^2)^n dx = I_{2n-1}<br />
\end{equation*}</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<u>証明</u></div>
<div>
<br /></div>
<div>
$x = \cos t$ とおいて、置換積分をする。</div>
\begin{eqnarray*}<br />
\int_{0}^{1} (1-x^2)^n dx &=& \int_{\pi/2}^{0} (1- \cos^2t)^n(-\sin t) dt \\<br />
&=& \int_{0}^{\pi/2} ( \sin^2 t )^n \sin t dt \\<br />
&=& \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2n-1} dt = I_{2n-1}<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
<br /></div>
<div>
よって、補題3が示された。ただし、$\sin^2t +\cos^2t =1 $を用いた。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<h2>
<span style="font-size: large;">補題4 </span>$ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+x^2)^n} dx = I_{2n-2}$</h2>
</div>
<div>
<u>補題4</u></div>
<div>
<u><br /></u></div>
\begin{equation*}<br />
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+x^2)^n} dx = I_{2n-2}\end{equation*}<br />
<div>
<br /></div>
<div>
<u>証明</u></div>
<div>
<br /></div>
<div>
$x = \tan t$とおいて、置換積分をする。 $dx=(1+\tan^2t)dt$に注意。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+x^2)^n} dx &=& \int_{0}^{\pi/2} \frac{1+tan^2t}{(1+\tan^2t)^n} dt \\<br />
&=& \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{(1+\tan^2 t)^{n-1}} dt \\<br />
&=& \int_{0}^{\pi/2} \cos^{2n-2} t dt \\<br />
&=& \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2n-2} \left( \pi/2-t \right) dt <br />
\end{eqnarray*}</div>
<div>
<br />
<div>
$1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}$を用いた。引き続き、$u=\left(\pi/2-t \right)$とおいて、置換積分をすれば、</div>
<div>
<br /></div>
\begin{equation*}<br />
\int_{\pi/2}^{0} \sin^{2n-2} u (-du) = I_{2n-2} <br />
\end{equation*}<br />
<div>
<br /></div>
<div>
よって、補題4が示せた。</div>
<div>
<br /></div>
</div>
<div>
<h2>
<span style="font-size: large;">補題5 $ \lim_{n \to \infty} \sqrt{n}I_{2n-2}=\lim_{n \to \infty} I_{2n-1} = \sqrt{\pi}/2 $</span></h2>
</div>
<div>
<u>補題5</u></div>
<div>
<u><br /></u></div>
\begin{equation*}\lim_{n \to \infty} \sqrt{n}I_{2n-2}=\lim_{n \to \infty} I_{2n-1} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}<br />
\end{equation*}<br />
<div>
<br /></div>
<div>
<u>証明</u></div>
<div>
<br /></div>
<div>
\begin{equation*}<br />
\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} I_{2n-1} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} \frac{(2^nn!)^2}{2n(2n)!} =\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\frac{(2^nn!)^2}{2(2n)!} = \sqrt{\pi}/2<br />
\end{equation*}</div>
<div>
ただし、補題1と補題2を用いた。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
また、Wallisの公式の証明に際して、</div>
<div>
\begin{equation*}<br />
\lim_{n \to \infty} \frac{I_{2n}}{I_{2n-1}} = 1<br />
\end{equation*}</div>
<div>
を示している。これより、</div>
<div>
\begin{equation*}<br />
\lim_{n \to \infty} \frac{I_{2n-2}}{I_{2n-1}} = 1<br />
\end{equation*}</div>
<div>
としてよい。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
これを用いれば、</div>
<div>
\begin{equation*}<br />
\lim_{n \to \infty} \sqrt{n}I_{2n-2} = \lim_{n \to \infty} I_{2n-1} \frac{I_{2n-2}}{I_{2n-1}} = \frac{\pi}{2}<br />
\end{equation*}</div>
<div>
となる。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
補題5が示された。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<h2>
<span style="font-size: large;">ガウス積分の証明</span></h2>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
次のグラフより、すべての$x$について、$e^x \geq x + 1$ が成立する。</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiE7GKq2TeNZOxNi0X-Hx2t9lgQoW0S-TSgp5f1vS24bMseSo91_H7szSfiypvkJJVM0fo70nJYIoJpcUTnWrOKd6JIIYDjUG-5jK3L8GBaADFd9YUs3xQ8CM6LdQZsNytsNrDsGJ_wrPMV/s1600/333.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="203" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiE7GKq2TeNZOxNi0X-Hx2t9lgQoW0S-TSgp5f1vS24bMseSo91_H7szSfiypvkJJVM0fo70nJYIoJpcUTnWrOKd6JIIYDjUG-5jK3L8GBaADFd9YUs3xQ8CM6LdQZsNytsNrDsGJ_wrPMV/s1600/333.png" width="320" /></a></div>
<div>
もちろんこれは、グラフをコンピュータに書かせなくても簡単に証明できる。$f(x)=e^x-x-1$と定義し、これを微分すれば、極値は$x=0$で$f(0)=0$の一つしかないことがわかる。増減表を書けばそこが最小値であることが分かるから、全ての$x$について$f(x) \geq 0$より、$e^x \geq x + 1$ である。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
$x \geq 0$のとき、$e^x \geq x + 1$ の $x$を$x^2$でおきかえ、$e^{x^2} \geq x^2 +1 $ となる。この両辺の逆数をとって、$e^{-x^2} \leq (1+x^2)^{-1} $ である。さらに$n$乗し、積分すれば、</div>
<div>
<br /></div>
\begin{equation*}<br />
\int_{0}^{\infty} e^{-nx^2} dx \leq \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+x^2)^n} dx<br />
\end{equation*}<br />
<div>
<br /></div>
<div>
となる。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
$x \leq x \leq 1$のときは$e^{-x^2} \geq (-x^2) +1 = 1 - x^2$ が言える($x>1$では右辺の正負が変化してしまうことに注意)。両辺を$n$乗し、積分すれば、</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\begin{equation*}<br />
\int_{0}^{1} (1-x^2)^n dx \leq \int_{0}^{1} e^{-nx^2} dx<br />
\end{equation*}</div>
<div>
<br /></div>
<div>
となる。$e^{x^2}$は$x>0$において減少関数ではあるが、常に正の値をとる(注2)ため</div>
<div>
\begin{equation*}<br />
\int_{0}^{1} e^{-nx^2} dx \leq \int_{0}^{\infty} e^{-nx^2} dx<br />
\end{equation*}</div>
<div>
が言える。以上より</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\begin{equation}<br />
\int_{0}^{1} (1-x^2)^n dx \leq \int_{0}^{\infty} e^{-nx^2} dx \leq \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+x^2)^n} dx<br />
\end{equation}</div>
<div>
<br /></div>
<div>
$\sqrt{n}x=t$とおいて、置換積分をすれば、</div>
<div>
<br /></div>
\begin{equation*}<br />
\int_{0}^{\infty} e^{-nx^2} dx = \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{0}^{\infty} e^{-t^2} dt<br />
\end{equation*}<br />
<div>
<br /></div>
<div>
であるから、(4)は</div>
<br />
\begin{equation*}<br />
\sqrt{n} I_{2n-1} \leq \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx \leq \sqrt{n} I_{2n-2}<br />
\end{equation*}<br />
<div>
<br /></div>
<div>
と書き直せる。補題5を用いて、$n \to \infty$で、</div>
<div>
\begin{equation*}<br />
\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}<br />
\end{equation*}</div>
<div>
となる。$e^{-x^2}$は明らかに、偶関数であるから、</div>
<div>
\begin{equation*}<br />
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx<br />
\end{equation*}</div>
<div>
が成立する。よって、</div>
\begin{equation*}<br />
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}<br />
\end{equation*}<br />
<div>
となり、ガウス積分を高校数学の(ほぼ)範囲内で示すことができた。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br />
<div>
注1)このように積分域に$\infty$を含む積分を「広義積分」などと呼ぶ(この説明は広義積分の正しい定義ではない)。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
注2)常に正であることは、いかなる実数$x,y$において、$x^y \geq 0$より明らか。減少関数であることは微分すれば直ちに分かる。</div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-38976840339479763752015-03-07T00:29:00.002+09:002015-10-25T10:28:28.955+09:00極限値の難問 n(x^1/n-1)→? (n→∞)$ x > 0 $ において、<br />
<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\lim_{n \to \infty} n \left( \sqrt[n]{x}-1 \right) <br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
<br /></div>
<div>
を考えます。この結果は、高校の数学のみで理解できますが、発想が難しいかも知れません。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
必要な知識</div>
<div>
-微分の定義</div>
<div>
-高校で学ぶ程度の微積分(とくに$a^x$を$a$で微分するとどうなるか)←ヒントですよ!</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<a name='more'></a><br />
$t=\frac{1}{n}$とおきかえれば、$ n \to \infty $ で $ t \to +0 $ であるから、<br />
<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\lim_{n \to \infty} n \left( \sqrt[n]{x}-1 \right) &=& \lim_{t \to +0} \frac{1}{t} \left( x^t - 1 \right)<br />
\end{eqnarray*}</div>
<div>
<br /></div>
<div>
ここで、右辺は、</div>
<div>
<br /></div>
\begin{eqnarray}<br />
\lim_{t \to +0} \frac{x^t - x^0}{t} = \lim_{t \to +0} \frac{x^{t+0} - x^0}{t} <br />
\end{eqnarray}<br />
<div>
<br /></div>
<div>
と書けることに注目する。これを微分係数の定義</div>
<div>
<br /></div>
\begin{eqnarray*}<br />
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}<br />
\end{eqnarray*}<br />
<div>
<br /></div>
<div>
と見比べてみれば、式(1)の右辺は$f(x)=x^a$を$a$で微分して、$a=0$を代入したものだとわかる(</div>
<div>
注1)。ゆえに、</div>
<div>
\begin{eqnarray}<br />
f'(0) = \lim_{t \to +0} \frac{x^t - x^0}{t} = x^0 \log x = \log x<br />
\end{eqnarray}</div>
<div>
である。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
\begin{eqnarray*}<br />
\lim_{n \to \infty} n \left( \sqrt[n]{x}-1 \right) = \log x<br />
\end{eqnarray*}</div>
<div>
<br /></div>
<div>
が示せた。なお、これを$\log x$の定義としてもよい。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
注1)左側極限を考えないのは、$ x > 0 $という制約があるから納得できる。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3327397545972782121.post-64774705627025638852015-03-05T17:47:00.002+09:002015-10-25T10:28:29.029+09:00ルート2のルート2乗のルート2乗のルート2乗の・・・ \begin{equation*}<br />
\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{.^{.^{.}}}}}}<br />
\end{equation*}<br />
<div>
はどうなるのでしょう。こういった表記は右から計算していくのでした(<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/beginequation-333-endequation-729.html" target="_blank">詳細</a>)。無限におおきくなっていくのでしょうか?</div>
<div>
<br /></div>
<div>
必要な知識</div>
<div>
- $3^{3^{3}}$などの意味(<a href="http://indoctus2.blogspot.jp/2015/03/beginequation-333-endequation-729.html" target="_blank">詳細</a>)</div>
<div>
- 数学的帰納法</div>
<div>
- 二項定理</div>
<div>
<a name='more'></a><br /></div>
\begin{equation*}<br />
a_1=\sqrt{2}, a_2={\sqrt{2}}^\sqrt{2}, a_3=\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}, \cdots<br />
\end{equation*}<br />
<div>
という数列を考える。この数列において、</div>
<div>
\begin{equation*}<br />
a_{n+1} = \sqrt{2}^{a_n}<br />
\end{equation*}</div>
<div>
が成立している。</div>
<h2>
<span style="font-size: large;">$a_{n+1} > a_n $の証明</span></h2>
<div>
$a_{n+1} > a_n $を数学的帰納法で示す。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
$n=1$の場合。$a_2=\sqrt{2}^{\sqrt{2}} > \sqrt{2}^1 = \sqrt{2} = a_1 $ より、成立。ただし、関数$f(x)=\sqrt{2}^x$は$x$の増加関数であることを用いた。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
$n=k$の場合、すなわち$a_{k+1} > a_k $が成り立つと仮定する。</div>
<div>
$n=k+1$の場合、仮定を用いて$ a_{k+2} = \sqrt{2}^{a_{k+1}} > {\sqrt{2}}^{a_k} = a_{k+1} $ が成立する。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
よって、全ての$n$について、$a_{n+1} > a_n $が成立する。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<h2>
<span style="font-size: large;">$a_n < 2 $の証明</span></h2>
</div>
<div>
$a_n < 2$を数学的帰納法で示す。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
$n=1$の場合、$a_1 =\sqrt{2} < 2 $より成立。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
$n=k$の場合、すなわち$a_k<2$が成立すると仮定する。</div>
<div>
$n=k+1$の場合、$a_{k+1}=\sqrt{2}^{a_n} < \sqrt{2}^2=2 $ より成立。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
ゆえに、全ての$n$について、$a_n < 2$が成立する。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<h2>
<span style="font-size: large;">$a_n > 2 - \frac{2}{n} $の証明</span></h2>
</div>
<div>
$a_n > 2 - \frac{2}{n}$ を数学的帰納法で証明する。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
$n=1$の場合、$1-\frac{2}{1}=0 < \sqrt{2} = a_1$ より成立。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
$n=k$の場合、すなわち$a_k > 2 - \frac{2}{k}$ が成立すると仮定する。</div>
<div>
$n=k+1$の場合、$ a_{k+1}=\sqrt{2}^{a_k} > \sqrt{2}^{2-\frac{2}{k}}=2^{1-\frac{1}{k}}$である。</div>
<div>
<br /></div>
\begin{equation}<br />
2^{1-\frac{1}{k}} \geq 2 - \frac{2}{k+1}<br />
\end{equation}<br />
<div>
これを示したいが、この式は両辺を$2$でわって、</div>
<div>
\begin{equation*}<br />
2^{-\frac{1}{k}} \geq 1 - \frac{1}{k+1} = \frac{k}{k+1}<br />
\end{equation*}</div>
<div>
両辺ともに正であることに注意して逆数をとって、</div>
<div>
\begin{equation*}<br />
2^{\frac{1}{k}} \leq \frac{k+1}{k} = 1+\frac{1}{k}<br />
\end{equation*}</div>
<div>
両辺ともに1より大きいことに注意して両辺を$k$乗すると</div>
\begin{equation*}<br />
\left(1+ \frac{1}{k} \right)^k \geq 2<br />
\end{equation*}<br />
<div>
と書きかえられるので、この式を示せば(1)を示したことになる。</div>
<div>
<div>
<br /></div>
<div>
左辺を二項定理により展開すれば、</div>
</div>
<div>
\begin{equation*}<br />
\left(1+ \frac{1}{k} \right)^k = 1 + k\frac{1}{k} + \dots \geq 2<br />
\end{equation*}</div>
<div>
であり、(1)が成立する。ゆえに、</div>
<div>
\begin{equation*}<br />
a_{k+1} > 2^{1-\frac{2}{k+1}} \geq 2-\frac{2}{k+1}<br />
\end{equation*}</div>
<div>
となり、$k+1$の場合成り立つ。</div>
<div>
<br /></div>
以上より、全ての$n$について$a_n > 2 - \frac{2}{n}$が成立する。<br />
<br />
<div>
<h2>
<span style="font-size: large;">$\lim_{n \to \infty} a_n $</span></h2>
</div>
<br />
<br />
以上より<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
2-\frac{2}{n} < a_n < 2<br />
\end{equation*}<br />
<br />
が成立している。はさみうちの原理より、<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\lim_{n \to \infty} a_n = 2<br />
\end{equation*}<br />
<br />
<br />
である。<br />
<div>
<br /></div>
<div>
<b><span style="color: red;">ルート2のルート2乗のルート2乗のルート2乗の・・・ というのは2に収束する</span></b>ことが結論付けられた。<br />
<br />
<h2>
<span style="font-size: large;">収束の様子を調べる。</span></h2>
</div>
<div>
エクセルを使って、$a_n$の様子を調べました。桁数14まで様子をみると次のようのなりました。</div>
<div>
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiIDh3o2NnY9xgnDJ12CzAkNLs2K_9AIjOp8H13mmZjiQ2gg0k6bdLZrAcNVQ8sBFPrxTvDIwDAibZJGdjIIKNVtMKERMLbhEoU1qPDzfmynGEuTBA3E5DTRkWyzCJMDA8EkP6PDoOEVGHO/s1600/2%5E2%5E2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiIDh3o2NnY9xgnDJ12CzAkNLs2K_9AIjOp8H13mmZjiQ2gg0k6bdLZrAcNVQ8sBFPrxTvDIwDAibZJGdjIIKNVtMKERMLbhEoU1qPDzfmynGEuTBA3E5DTRkWyzCJMDA8EkP6PDoOEVGHO/s1600/2%5E2%5E2.png" height="143" width="320" /></a></div>
<div>
<br /></div>
<div>
画像はクリックで大きくなります。グラフにプロットすると、以下のようになります。</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiIUr_Yt1B7WtlzWqvUyKZUgUv8yRTvqWlvNJhK_6vDGwisJltZHOHEIUhaVw76AtqUTb467Hcer63mxSih4og2ksaDoereq8hlISQc_67H65jauCG5Cv5CSFahb9Hb-bAl_8WD3wU51SwI/s1600/image004.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiIUr_Yt1B7WtlzWqvUyKZUgUv8yRTvqWlvNJhK_6vDGwisJltZHOHEIUhaVw76AtqUTb467Hcer63mxSih4og2ksaDoereq8hlISQc_67H65jauCG5Cv5CSFahb9Hb-bAl_8WD3wU51SwI/s1600/image004.png" height="267" width="320" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjzVpE7_gDfeFQtpxBfFic9uP_WxG-gEKwwwtSLGm2_1D2TGEaeQedVaiZ3m26G5j9COTGZKuUZKi2O8AxRogYuzeqI83Wdfv8jmD24CQn055MNFIwI_B8p1thta5dO8I3Z5umS5i4dzQU_/s1600/image0042.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjzVpE7_gDfeFQtpxBfFic9uP_WxG-gEKwwwtSLGm2_1D2TGEaeQedVaiZ3m26G5j9COTGZKuUZKi2O8AxRogYuzeqI83Wdfv8jmD24CQn055MNFIwI_B8p1thta5dO8I3Z5umS5i4dzQU_/s1600/image0042.png" height="267" width="320" /></a></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
Unknownnoreply@blogger.com3