負の整数の多重階乗について（ガンマ関数不要）

先日の記事では、$0!=1,0!!=1$など、0のn重階乗が0と定義される理由を説明しました（詳細）が、この考え方を応用して、負の整数の多重階乗が理解できます。つまり、

$$\begin{equation*} (-1)!!,(-4)!!! \end{equation*}$$
などが定義できるということです。なお、(-2)!や(-1)!が発散することも本稿で確認します。

必要な知識
- n重階乗について（詳細）
- 0のn重階乗について（詳細)
- 高校で学習する程度の極限


以下では、$0!=0!!=0!!!=\dots=1$を断りなく用いる。これの証明はこちら。

負の整数の2重階乗

$0!!$は、

$$\begin{eqnarray*} (n-2)!　&=& (n-2)×(n-4)×(n-6)×\dots \\ &=& \frac{n×(n-2)×(n-4)×\dots}{n} \\ &=& \frac{n!!}{n} \end{eqnarray*}$$

この両辺にn=2を代入することによって$0!!=1$と定義された。この拡張方法を許すとすれば、ここに$n=1$を代入してみよう。すると、

$$\begin{eqnarray*} (1-2)!! &=& \frac{1!!}{1}　\\ (-1)!! &=& 1 \end{eqnarray*}$$

となり、$(-1)!!=1$という負の2重階乗の値が求まってしまった！
同様にして、$n=0$を代入してみると、
$$\begin{eqnarray*} (0-2)!! &=& \frac{0!!}{0} \\ (-2)!! &=& \pm \infty \end{eqnarray*}$$

かなり適当な書き方で数学が専門の人に怒られてしまいそうだが、$(-2)!!$はどうやら発散しているらしいことがわかった。もう少し、丁寧に書くならば、

$$\begin{eqnarray*} \lim_{n \nearrow -2} n !! &=& \lim_{n \nearrow 0} \frac{1}{n} = - \infty \\ \lim_{n \searrow -2} n !! &=& \lim_{n \searrow 0} \frac{1}{n} = ＋\infty \end{eqnarray*}$$

とかでどうだろう。

次に、$n=-1,-2$を代入すれば、

$$\begin{eqnarray*} (-1-2)!! &=& \frac{(-1)!!}{-1} \\ (-3)!! &=& -1 \\ \\ (-2-2)!! &=& \frac{(-2)!!}{-2} \\ (-4)!! &=& \infty \end{eqnarray*}$$

とまたまた、負の2重階乗の値が求まった一方で、$(-4)!!$は発散してしまった(ただし、$(-2)!!$と発散の方向が逆)ようだ。これを繰り返していけば、どうやら、(－偶数)!!は発散してしまうが、(－奇数)!!であれば値が求まるということが分かる。そこで、$n$に奇数をどんどん入れていけば、次のようになる。

$$\begin{eqnarray*} (-1)!! &=& 1 \\ (-3)!! &=& -1 \\ (-5)!! &=& \frac{1}{3} \\ (-7)!! &=& -\frac{1}{15} \\ (-9)!! &=& \frac{1}{105} \\ (-11)!! &=& -\frac{1}{945} \\ (-13)!! &=& \frac{1}{10395} \\ (-15)!! &=& -\frac{1}{135135}\\ \end{eqnarray*}$$

これを注意深く観察すれば、1でない自然数$k$と自然数$n$について

$$\begin{eqnarray*} (-k)!!= \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{k!!} & (k=4n+1) \\ -\frac{1}{k!!} & (k=4n+3) \\ 発散 & (k=2n) \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$

となることがわかる。このようにして、負の奇数の二重階乗が定義できる。

負の整数の3重階乗

負の整数の3重階乗についても、以上と同様の議論ができる。(－3の倍数)!は発散することがすぐに分かる一方で、以下のように負の三重階乗の値を求められる。

$$\begin{eqnarray*} (-1)!!! &=& 1 \\ (-2)!!! &=& 1 \\ (-4)!!! &=& -1 \\ (-5)!!! &=& -\frac{1}{2} \\ (-7)!!! &=& \frac{1}{4} \\ (-8)!!! &=& \frac{1}{10} \\ (-10)!!! &=& -\frac{1}{28} \\ (-11)!!! &=& -\frac{1}{80}\\ (-13)!!! &=& \frac{1}{280} \\ (-14)!!! &=& \frac{1}{880}\\ \end{eqnarray*}$$

これを注意深く観察すれば、2より大きい自然数$k$と自然数$n$について

$$\begin{eqnarray*} (-k)!!!= \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{k!!!} & (k=6n+1,6n+2) \\ -\frac{1}{k!!!} & (k=6n+4,6n+5) \\ 発散 & (k=3n) \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$

となる。

負の整数のm重階乗

$m$は$m > 1$を満たす自然数とする。今までの議論と同様にして、負のm重階乗を考えることができる。

$k>3$に関して

$$\begin{eqnarray*} (-k)!!!!= \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{k!!!!} & (k=8n+1,8n+2,8n+3) \\ -\frac{1}{k!!!!} & (k=8n+5,8n+6,8n+7) \\ 発散 & (k=4n) \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$

$k>4$に関して

$$\begin{eqnarray*} (-k)!!!!!= \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{k!!!!!} & (k=10n+1,10n+2,10n+3,10n+4) \\ -\frac{1}{k!!!!!} & (k=10n+6,10n+7,10n+8,10n+9) \\ 発散 & (k=5n) \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$

といった具合になる。

負の整数の1重階乗

$$\begin{eqnarray*} (n-1)!=\frac{n!}{n} \end{eqnarray*}$$

に$n=0$をいれると、

$$\begin{eqnarray*} (0-1)! &=& \frac{0!}{0} \\ (-1)! &=& \pm \infty \end{eqnarray*}$$

となり、発散。続いて、$n=-1$を入れても、

$$\begin{eqnarray*} (-1-1)! &=& \frac{(-1)!}{-1} \\ (-2)! &=& \mp \infty \end{eqnarray*}$$

となり、またまた発散する。このように自然数$n$に関して$(-n)!$は発散してしまう。


補足：


階乗はガンマ関数の理論により拡張されるが、このガンマ関数をプロットした下のグラフを見ても、（－自然数)!の部分で発散していることが分かる。

横軸nに対して、縦軸はn!と考えてよい。これは階乗をより一般化したガンマ関数をプロットした図である。

0!=1になっているところなどにも注目されたい。