なぜ逆関数はf^(-1)で表すのか、なぜy=xに対称なのか。

関数$y=f(x)$の逆関数は$y=f^{-1}(x)$と書かれました。逆関数をなぜ－１乗と書くのでしょうか。

また、逆関数ともとの関数はなぜ$y=x$に対称なのでしょうか。

本稿では、

１．逆関数の定義のおさらい

２．逆関数を$f^{-1}$乗と書く理由の説明

３．逆関数ともとの関数が$y=x$に対して対称であることの証明

を扱います。

逆関数という言葉は数学IIIで学習するものですが、本稿は数学IIIが未習のひとでも理解できます。

必要な知識

- 関数を$y=f(x)$と書くことになれていること

実数の絶対値と複素数の絶対値の根本的な違い

先日の記事でも紹介したように、虚数同士の大小を（私たちのよく知る意味においては）比較することはできません（詳細）。一方で、虚数の絶対値は定義することができます。しかし、その扱いには注意が必要です。

問．$|z-2|=1$を満たす複素数$z$を求めよ。

これに対して、ある学生は以下のように考えました。

まずは絶対値記号をはずして
$$\begin{equation*} z-2=\pm1 \end{equation*}$$
より、
$$\begin{equation*} z=1,3 \end{equation*}$$
実はこれは間違いです。どこがおかしいか説明できますか。

本稿では、

１．複素平面についておさらい
２．複素数の絶対値の定義を納得する
３．実数の絶対値と複素数の絶対値の根本的な違いを指摘する
４．この問いに対する正しい答えを導く

ことを行います。

必要な知識
- 実数の絶対値の定義や絶対値記号の外し方
- 複素数と虚数の定義(詳細)
- 円の方程式$x^2+y^2=r^2$

高校数学で学ぶ演算子とその線形性

何らかの（数学的）処理を指示するものを「演算子」と呼びます。
たとえば、"＋"という演算子はふたつの数を足すことを意味し、"√"という演算子は根号の中の平方根を求めることを意味します。

今回は、高校数学で登場する演算子とその線形性について注目してみます。

必要な知識
- とくになし

総乗記号Πの使い方

総和を表す記号シグマ$\sum$があるように、全て掛け合わせていく総乗を表す記号$\prod$が存在します。

必要な知識
- 総和記号を扱える。