各項の分母が等比数列、分子が等差数列のJakob Bernoulliの級数

\begin{equation*}

\frac{1}{3} + \frac{6}{21} + \frac{11}{147} + \frac{16}{1029} + \frac{21}{7203} + \frac{26}{50421} + \frac{31}{352947}+ \cdots

\end{equation*}
を求めてみましょう。一見すると、めちゃくちゃな級数に見えますが、よく見ると各項の分母は初項3、公比7の等比数列、各項の分子は初項１、公差5の等比数列だということが分かります（確かめよう）。そこで、まずはより一般的に


\begin{equation*}

\frac{a}{b} + \frac{a+c}{bd} + \frac{a+2c}{bd^2} + \frac{a+3c}{bd^3} + \frac{a+4c}{bd^4} + \cdots

\end{equation*}


という級数を求めることから始めます。これは、ヤコビ・ベルヌーイという17世紀の学者が研究した級数です。


必要な知識
- シグマの基本的な扱い方
- 無限等比数列の和の公式
- 等比数列、等差数列の和の公式

はめこみ級数（三角数の逆数の和） 1+1/3+1/6+1/10+1/15+…

はめこみ級数と呼ばれる
\begin{equation*}
1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\dots
\end{equation*}
がいくつになるか調べましょう。

気持ちよく求まります。定期テストにでてきても良いぐらいのレベルの問題なので、まずは自力で考えてみてから、読み進めて下さい。

必要な知識
- 部分分数分解
- 高校で習う級数の表し方（シグマ記号の扱い）
- 1から$n$までの自然数の和