はめこみ級数（三角数の逆数の和） 1+1/3+1/6+1/10+1/15+…

はめこみ級数と呼ばれる
\begin{equation*}
1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\dots
\end{equation*}
がいくつになるか調べましょう。

気持ちよく求まります。定期テストにでてきても良いぐらいのレベルの問題なので、まずは自力で考えてみてから、読み進めて下さい。

必要な知識
- 部分分数分解
- 高校で習う級数の表し方（シグマ記号の扱い）
- 1から$n$までの自然数の和

$n$番目の分母は$n$番目の三角数になっていることに注目しよう。$n$番目の三角数というのは、1から$n$までの自然数の和のことを言う。この級数は、三角数の逆数の和である。

\begin{eqnarray*}
\sum_{k=1}^{1} k = \frac{1(1+1)}{2} &=& 1 \\
\sum_{k=1}^{2} k = \frac{2(2+1)}{2} &=& 3 \\
\sum_{k=1}^{3} k = \frac{3(3+1)}{2} &=& 6
\end{eqnarray*}

ゆえに、求めたい級数の$n$項目は

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{n(n+1)/2} = \frac{2}{n(n+1)}
\end{eqnarray*}

とかける。部分分数分解をして、

\begin{eqnarray*}
\frac{2}{n(n+1)} = 2 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)
\end{eqnarray*}

であるから、

\begin{eqnarray*}
&&1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\dots 　\\
&=& 2 \left\{
\left( 1- \frac {1}{2} \right) +
\left( \frac{1}{2}- \frac {1}{3} \right) +
\left( \frac{1}{3}- \frac {1}{4} \right) +
\left( \frac{1}{4}- \frac {1}{5} \right) + \dots
\right\}\\ & = & 2
\end{eqnarray*}

とかける。中括弧の中のそれぞれの項がとなりの項と打ち消しあっていることに注目した。

まとめると

\begin{eqnarray*}
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)/2} = 2
\end{eqnarray*}

となる。