ベクトルの内積はなぜcosで定義されるのか。

高校の教科書では、$\vec{a}$と$\vec{b}$の成す角が$\theta$のとき、内積$\vec{a}\cdot \vec{b}$を次のように定義するとあります。

$$\begin{equation*} \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta \end{equation*}$$

しかし、教科書にはその理由が書いてありません。

本稿では、なぜベクトルの内積がこのように定義されるのかを考えます。なお、本稿では、向きと大きさを持つベクトル量に対して、向きを持たない量をスカラ量と呼びます。

必要な知識
- 余弦定理
- ベクトルの基本的性質