総乗記号Πの使い方

総和を表す記号シグマ$\sum$があるように、全て掛け合わせていく総乗を表す記号$\prod$が存在します。

必要な知識
- 総和記号を扱える。



$\sum$をシグマと呼ぶように、$\prod$をパイと呼びます。円周率を表す$\pi$は小文字のパイで、$\prod$は大文字のパイです。いずれもギリシア文字です。

$\prod$の使い方は、$\sum$と全く同じです。

たとえば、$a_1=2,a_2=4,a_3=6$という数列があるとき、

$$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{3}a_k=a_1+a_2+a_3=12 \\ \prod_{k=1}^{3}a_k=a_1×a_2×a_3=48 \end{eqnarray*}$$

と書きます。以下、練習問題です。


問．階乗の定義を総乗記号を用いて書け。

答．自然数$n$において$n$の階乗$n!$は次のように定義する。
$$\begin{eqnarray*} n! = \prod_{k=1}^{n} k= 1×2×3×\dots×(n-1)×n \end{eqnarray*}$$
ただし、$n!=0$と約束する。



問．$a_1,a_2,\cdots,a_n$という$n$個の値を与えられたとき、相加平均と相乗平均の定義を総和記号・総乗記号を用いて書け。

問．相加平均、相乗平均の順に

$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} a_k &=& \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \\ \left( \prod_{k=1}^{n} a_k \right)^{1/n} &=& \sqrt[n]{ a_1×a_2×\dots a_{n-1}×a_n} \end{eqnarray*}$$

である。