sin,cos,tan以外の三角比とそれらを結ぶ関係式の図

高校でならう三角比は次のような三角形において

$$\begin{eqnarray*} \sin \theta &=& \frac{b}{c} \\ \cos \theta &=& \frac{a}{c} \\ \tan \theta &=& \frac{b}{a} \end{eqnarray*}$$

と定義される3つで、上から順に、正弦、余弦、正接などと呼ばれます。

しかし、直角三角形の辺の長さの比のとり方はこれ以外にもあります。





$$\begin{eqnarray*} \csc \theta &=& \frac{c}{b} \\ \sec \theta &=& \frac{c}{a} \\ \cot \theta &=& \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$$

これらは、上から順に余割（コセカント）、正割（セカント）、余接（コタンジェント）と呼ばれ、それぞれ、$\sin \theta,\cos \theta,\tan \theta$の逆数（≠逆関数 注１）の関係にあります。

また、これらには、
$$\begin{eqnarray*} \sin^2 \theta + \cos^2 \theta &=& 1 \\ \tan^2 \theta + 1 &=& \sec^2 \theta \\ 1 + \cot^2 \theta &=& \csc^2 \theta \end{eqnarray*}$$
という関係がある。これらを覚えるのは大変なので、下の図を頭に入れておけばよい。

この図は、それぞれの三角比の反対側にその三角比の逆数を書いたもの（たとえば、$\sin$の反対側には、$\csc$がある）であり、逆さになった正三角形の上二つの二乗の和は、下の頂点の二乗の和に等しいことを意味してる（たとえば、$1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta$)。

定義された余割、正割、余接はいずれも正弦、余弦、正接と同様に定義域を拡張することができる。

$y=\sin x$と$y=\csc x$のグラフ

$y=\cos x$と$y=\sec x$のグラフ

$y=\tan x$と$y=\cot x$のグラフ

$y=\csc x$と$y=\sec x$の$y=\cot x$グラフ

注１）三角関数の逆数をとることから、これらを逆三角関数と呼ぶ人が居るが、それは誤り。逆三角関数というのは、三角関数の逆関数のことで（詳細）あって、$\sec,\cos,\cot$は逆三角関数とは呼ばない。

研究課題

余割、正割、余接の加法定理を求めよ。