Wallisの公式 その1

Wallisの公式

$$\begin{equation} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \frac{(2^nn!)^2}{(2n)!} = \sqrt{\pi}\end{equation}$$

を証明します。

必要な知識
- $\sin$のn乗の定積分の公式 （詳細）
- 二重階乗を一重階乗に変換する定理（詳細）
- 極限の知識
- はさみうちの原理

確認

先日の記事（詳細） では、

$$\begin{eqnarray*} I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^nx dx = \begin{cases} \frac {(n-1)!!}{n!!} \frac{\pi}{2}　(nが偶数)& \\ \frac {(n-1)!!}{n!!} 　(nが奇数)& \end{cases}\end{eqnarray*}$$

を証明した。これを、先日の記事にかいた二重階乗を一重階乗に変換する定理（詳細）

$$\begin{eqnarray*} (2n)!!&=&2^nn! \\ (2n-1)!!&=&\frac{(2n)!}{2^nn!} \\ \end{eqnarray*}$$
を思い出せば、次のように書き直せる（詳細）

$$\begin{eqnarray} I_{2n} &=&  \frac{(2n)!}{(2^nn!)^2} \frac{\pi}{2} \\ \nonumber \\　 I_{2n-1}&=& \frac{(2^nn!)^2}{2n(2n)!} \end{eqnarray}$$

さて、$0 \leq x \leq \pi/2$ のとき、 $0 \leq \sin x \leq 1$ より、$\sin^{2n+1}x \leq \sin^{2n}x \leq \sin^{2n-1}x$が成立している。インテグラル(注１)をつけて、$I_{2n+1} \leq I_{2n} \leq I_{2n-1}$である。

ここで、

$$\begin{eqnarray*} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n-1}} \end{eqnarray*}$$

を考える。分子の$I_{2n+1}$は式(3)の$n$を$n+1$でおきかえたものだから、

$$\begin{eqnarray*} I_{2n+1}=\frac{\left(2^{n+1} (n+1)! \right)^2}{2(n+1)(2n+2)!} \end{eqnarray*}$$

であり、よって、

$$\begin{eqnarray*} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n-1}} &=& \frac{\frac{\left(2^{n+1} (n+1)! \right)^2}{2(n+1)(2n+2)!}}{\frac{(2^nn!)^2}{2n(2n)!}}\\ &=& \frac{\left((n+1)!2^{n+1} \right)^2(2n!)n}{(2n+1)!\left(2^nn! \right)^2(n+1)} \\ &=& \frac{2^{2n+2} \{(n+1)\}^2!}{2^{2n}(n!)^2} \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}\frac{n}{n+1} \\ &=& 4 \frac{(n+1)^2×n^2×\dots×1^2}{n^2×(n-1)^2×\dots×1^2} \frac{n}{(2n+2)(2n+1)}\frac{1}{n+1} \\ &=& 4(n+1) \frac{n}{(2n+2)(2n+1)} = \frac{2n}{2n+1} \end{eqnarray*}$$
である。これより、
$$\begin{eqnarray*} \frac{2n}{2n+1}=\frac{I_{2n+1}}{I_{2n-1}} \leq \frac{I_{2n}}{I_{2n-1}} \leq 1 \end{eqnarray*}$$ とかける。はさみうちの原理より、
$$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{I_{2n}}{I_{2n-1}}=1 \end{eqnarray*}$$
である。ところで、
$$\begin{eqnarray*} \frac{I_{2n}}{I_{2n-1}}=\frac{(2n)!2n(2n)!}{(2^nn!)^4} \frac{\pi}{2}= \left\{\frac{\sqrt{n}(2n)!}{(2^nn!)^2}\sqrt{\pi} \right\}^2 \end{eqnarray*}$$

であり、これを整理して、
$$\begin{equation} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \frac{(2^nn!)^2}{(2n)!} = \sqrt{\pi}\end{equation}$$
となり、題意は示せた。

注１：次の定理を用いた。この定理は数IIIの教科書に載っているため、とくに説明しなかった。

定理

区間$[a,b]$で$f(x) \leq g(x)$ ならば、$\int_a^{b} f(x) dx \leq \int_a^{b} g(x) dx$ である。