雨粒の速さとエネルギー―空気抵抗がなかったら…

空気抵抗がなければ、雨粒はどれくらいの速さで落下してくるでしょうか。


必要な知識
-高校物理の公式$v^2-v_0^2=2ax$

空気抵抗がないときの雨粒の速さ

高校物理で習うように、速度$v$、初速度$v_0$、加速度$v$、距離$x$としたとき、
\begin{equation*}
v^2-v_0^2=2ax
\end{equation*}
という関係が成立します。雨を降らせる雨雲（乱層雲）は地上からおよそ6000m付近のところまであるようです。雨粒が高度6000mから初速度0で落下したとすれば、地球の重力加速度は$9.8{\rm m/s^2}$であるから上の公式を用いて、
\begin{eqnarray*}
v^2-0^2 &=& 2×9.8{\rm m/s^2}×6000{\rm m} \\
v^2 &=& 117600 {\rm m^2/s^2} \\
v & \simeq & 342.9 {\rm m/s}
\end{eqnarray*}
となります。$342.9{\rm m/s}$を${\rm km/h}$に変換すると、
\begin{eqnarray*}
342.9{\rm m/s} = 1234.44 {\rm km/h}
\end{eqnarray*}
となる。新幹線よりもはるかに速い。

雨粒のエネルギーを求める。

雨粒の直径は0.02mm～3mmらしいので、直径1.5mm程度の雨粒の運動エネルギーを求めてみよう。この雨粒が球であると仮定すれば、その体積$V$は
\begin{eqnarray*}
V=\frac{4}{3} \pi  \left(\frac{1.5}{2} \right)^3×10^{-6} {\rm m^3} \simeq 1.76625×10^{-9}{\rm m^3}
\end{eqnarray*}
であり、水の密度$\rho$との積で1粒あたりの質量$m$が求まる。

\begin{eqnarray*}
m=V×\rho \simeq 1.76625 × 10^{-9} {\rm m^3} × 999.97　{\rm kg/m^3} = 1766 × 10^{-9} 　{\rm kg}
\end{eqnarray*}

これより、雨粒のエネルギーは

\begin{eqnarray*}
E=mgx = 1766 × 10^{-9} {\rm kg} × 9.8{\rm m/s^2} ×6000{\rm m} \simeq　0.104 {\rm J}
\end{eqnarray*}

なお、学研サイエンスキッズによると実際の雨の速さは強い雨でも50km/h程度らしい。空気抵抗のありがたさがよくわかる。