ルート2のルート2乗のルート2乗のルート2乗の・・・

\begin{equation*}
\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{.^{.^{.}}}}}}
\end{equation*}

はどうなるのでしょう。こういった表記は右から計算していくのでした（詳細）。無限におおきくなっていくのでしょうか？

必要な知識

- $3^{3^{3}}$などの意味(詳細)

- 数学的帰納法

- 二項定理

\begin{equation*}
a_1=\sqrt{2}, a_2={\sqrt{2}}^\sqrt{2}, a_3=\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}, \cdots
\end{equation*}

という数列を考える。この数列において、

\begin{equation*}
a_{n+1} = \sqrt{2}^{a_n}
\end{equation*}

が成立している。

$a_{n+1} > a_n $の証明

$a_{n+1} > a_n $を数学的帰納法で示す。

$n=1$の場合。$a_2=\sqrt{2}^{\sqrt{2}} > \sqrt{2}^1 = \sqrt{2} = a_1 $ より、成立。ただし、関数$f(x)=\sqrt{2}^x$は$x$の増加関数であることを用いた。

$n=k$の場合、すなわち$a_{k+1} > a_k $が成り立つと仮定する。

$n=k+1$の場合、仮定を用いて$ a_{k+2} = \sqrt{2}^{a_{k+1}} > {\sqrt{2}}^{a_k} = a_{k+1} $ が成立する。

よって、全ての$n$について、$a_{n+1} > a_n $が成立する。

$a_n < 2 $の証明

$a_n < 2$を数学的帰納法で示す。

$n=1$の場合、$a_1 =\sqrt{2} < 2 $より成立。

$n=k$の場合、すなわち$a_k<2$が成立すると仮定する。

$n=k+1$の場合、$a_{k+1}=\sqrt{2}^{a_n} < \sqrt{2}^2=2 $ より成立。

ゆえに、全ての$n$について、$a_n < 2$が成立する。

$a_n > 2 - \frac{2}{n} $の証明

$a_n > 2 - \frac{2}{n}$ を数学的帰納法で証明する。

$n=1$の場合、$1-\frac{2}{1}=0 < \sqrt{2} = a_1$ より成立。

$n=k$の場合、すなわち$a_k > 2 - \frac{2}{k}$ が成立すると仮定する。

$n=k+1$の場合、$ a_{k+1}=\sqrt{2}^{a_k} > \sqrt{2}^{2-\frac{2}{k}}=2^{1-\frac{1}{k}}$である。

\begin{equation}
2^{1-\frac{1}{k}} \geq 2 - \frac{2}{k+1}
\end{equation}

これを示したいが、この式は両辺を$2$でわって、

\begin{equation*}
2^{-\frac{1}{k}} \geq 1 - \frac{1}{k+1} = \frac{k}{k+1}
\end{equation*}

両辺ともに正であることに注意して逆数をとって、

\begin{equation*}
2^{\frac{1}{k}} \leq \frac{k+1}{k} = 1+\frac{1}{k}
\end{equation*}

両辺ともに1より大きいことに注意して両辺を$k$乗すると

\begin{equation*}
\left(1+ \frac{1}{k} \right)^k \geq 2
\end{equation*}

と書きかえられるので、この式を示せば（１）を示したことになる。

左辺を二項定理により展開すれば、

\begin{equation*}
\left(1+ \frac{1}{k} \right)^k = 1 + k\frac{1}{k} + \dots \geq 2
\end{equation*}

であり、(1)が成立する。ゆえに、

\begin{equation*}
a_{k+1} > 2^{1-\frac{2}{k+1}} \geq 2-\frac{2}{k+1}
\end{equation*}

となり、$k+1$の場合成り立つ。

以上より、全ての$n$について$a_n > 2 - \frac{2}{n}$が成立する。

$\lim_{n \to \infty} a_n $

以上より

\begin{equation*}
2-\frac{2}{n} < a_n < 2
\end{equation*}

が成立している。はさみうちの原理より、

\begin{equation*}
\lim_{n \to \infty} a_n = 2
\end{equation*}


である。

ルート2のルート2乗のルート2乗のルート2乗の・・・　というのは2に収束することが結論付けられた。

収束の様子を調べる。

エクセルを使って、$a_n$の様子を調べました。桁数14まで様子をみると次のようのなりました。

画像はクリックで大きくなります。グラフにプロットすると、以下のようになります。