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2015年3月5日木曜日

ルート2のルート2乗のルート2乗のルート2乗の・・・ 

\begin{equation*} \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{.^{.^{.}}}}}} \end{equation*}
はどうなるのでしょう。こういった表記は右から計算していくのでした(詳細)。無限におおきくなっていくのでしょうか?

必要な知識
- 3^{3^{3}}などの意味(詳細)
- 数学的帰納法
- 二項定理

\begin{equation*} a_1=\sqrt{2}, a_2={\sqrt{2}}^\sqrt{2}, a_3=\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}, \cdots \end{equation*}
という数列を考える。この数列において、
\begin{equation*} a_{n+1} = \sqrt{2}^{a_n} \end{equation*}
が成立している。

a_{n+1} > a_n の証明

a_{n+1} > a_n を数学的帰納法で示す。

n=1の場合。a_2=\sqrt{2}^{\sqrt{2}} > \sqrt{2}^1 = \sqrt{2} = a_1 より、成立。ただし、関数f(x)=\sqrt{2}^xxの増加関数であることを用いた。

n=kの場合、すなわちa_{k+1} > a_k が成り立つと仮定する。
n=k+1の場合、仮定を用いて a_{k+2} = \sqrt{2}^{a_{k+1}} > {\sqrt{2}}^{a_k} = a_{k+1} が成立する。

よって、全てのnについて、a_{n+1} > a_n が成立する。

a_n < 2 の証明

a_n < 2を数学的帰納法で示す。

n=1の場合、a_1 =\sqrt{2} < 2 より成立。

n=kの場合、すなわちa_k<2が成立すると仮定する。
n=k+1の場合、a_{k+1}=\sqrt{2}^{a_n} < \sqrt{2}^2=2 より成立。

ゆえに、全てのnについて、a_n < 2が成立する。

a_n > 2 - \frac{2}{n} の証明

a_n > 2 - \frac{2}{n} を数学的帰納法で証明する。

n=1の場合、1-\frac{2}{1}=0 < \sqrt{2} = a_1 より成立。

n=kの場合、すなわちa_k > 2 - \frac{2}{k} が成立すると仮定する。
n=k+1の場合、 a_{k+1}=\sqrt{2}^{a_k} > \sqrt{2}^{2-\frac{2}{k}}=2^{1-\frac{1}{k}}である。

\begin{equation} 2^{1-\frac{1}{k}} \geq 2 - \frac{2}{k+1} \end{equation}
これを示したいが、この式は両辺を2でわって、
\begin{equation*} 2^{-\frac{1}{k}} \geq 1 - \frac{1}{k+1} = \frac{k}{k+1} \end{equation*}
両辺ともに正であることに注意して逆数をとって、
\begin{equation*} 2^{\frac{1}{k}} \leq \frac{k+1}{k} = 1+\frac{1}{k} \end{equation*}
両辺ともに1より大きいことに注意して両辺をk乗すると
\begin{equation*} \left(1+ \frac{1}{k} \right)^k \geq 2 \end{equation*}
と書きかえられるので、この式を示せば(1)を示したことになる。

左辺を二項定理により展開すれば、
\begin{equation*} \left(1+ \frac{1}{k} \right)^k = 1 + k\frac{1}{k} + \dots \geq 2 \end{equation*}
であり、(1)が成立する。ゆえに、
\begin{equation*} a_{k+1} > 2^{1-\frac{2}{k+1}} \geq 2-\frac{2}{k+1} \end{equation*}
となり、k+1の場合成り立つ。

以上より、全てのnについてa_n > 2 - \frac{2}{n}が成立する。

\lim_{n \to \infty} a_n



以上より

\begin{equation*} 2-\frac{2}{n} < a_n < 2 \end{equation*}

が成立している。はさみうちの原理より、

\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} a_n = 2 \end{equation*}


である。

ルート2のルート2乗のルート2乗のルート2乗の・・・ というのは2に収束することが結論付けられた。

収束の様子を調べる。

エクセルを使って、a_nの様子を調べました。桁数14まで様子をみると次のようのなりました。


画像はクリックで大きくなります。グラフにプロットすると、以下のようになります。



3 件のコメント:

  1. 他の方法はないのですか?

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  2. 1-2/1=-1では無いのでしょうか。
    3つ目の照明のn=1のときです。

    返信削除
    返信
    1. >1-2/1=-1では無いのでしょうか。
      2-2/1=0やね

      削除

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