極限値の難問 n(x^1/n-1)→? （n→∞)

$x > 0$ において、

$$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} n \left( \sqrt[n]{x}-1 \right)　 \end{eqnarray*}$$

を考えます。この結果は、高校の数学のみで理解できますが、発想が難しいかも知れません。

必要な知識

-微分の定義

-高校で学ぶ程度の微積分（とくに$a^x$を$a$で微分するとどうなるか)←ヒントですよ！

$t=\frac{1}{n}$とおきかえれば、$n \to \infty$ で $t \to +0$ であるから、

$$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} n \left( \sqrt[n]{x}-1 \right) &=& \lim_{t \to +0} \frac{1}{t} \left( x^t - 1 \right) \end{eqnarray*}$$

ここで、右辺は、

$$\begin{eqnarray} \lim_{t \to +0} \frac{x^t - x^0}{t} = \lim_{t \to +0} \frac{x^{t+0} - x^0}{t} \end{eqnarray}$$

と書けることに注目する。これを微分係数の定義

$$\begin{eqnarray*} f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \end{eqnarray*}$$

と見比べてみれば、式(1)の右辺は$f(x)=x^a$を$a$で微分して、$a=0$を代入したものだとわかる(

注１）。ゆえに、

$$\begin{eqnarray} f'(0) = \lim_{t \to +0} \frac{x^t - x^0}{t} = x^0 \log x = \log x \end{eqnarray}$$

である。

$$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} n \left( \sqrt[n]{x}-1 \right) = \log x \end{eqnarray*}$$

が示せた。なお、これを$\log x$の定義としてもよい。

注１）左側極限を考えないのは、$x > 0$という制約があるから納得できる。