極限値の難問 n(x^1/n-1)→? （n→∞)

$ x > 0 $ において、

\begin{eqnarray*}
\lim_{n \to \infty} n \left( \sqrt[n]{x}-1 \right)　
\end{eqnarray*}

を考えます。この結果は、高校の数学のみで理解できますが、発想が難しいかも知れません。

必要な知識

-微分の定義

-高校で学ぶ程度の微積分（とくに$a^x$を$a$で微分するとどうなるか)←ヒントですよ！

$t=\frac{1}{n}$とおきかえれば、$ n \to \infty $ で $ t \to +0 $ であるから、

\begin{eqnarray*}
\lim_{n \to \infty} n \left( \sqrt[n]{x}-1 \right) &=& \lim_{t \to +0} \frac{1}{t} \left( x^t - 1 \right)
\end{eqnarray*}

ここで、右辺は、

\begin{eqnarray}
\lim_{t \to +0} \frac{x^t - x^0}{t} = \lim_{t \to +0} \frac{x^{t+0} - x^0}{t}
\end{eqnarray}

と書けることに注目する。これを微分係数の定義

\begin{eqnarray*}
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}
\end{eqnarray*}

と見比べてみれば、式(1)の右辺は$f(x)=x^a$を$a$で微分して、$a=0$を代入したものだとわかる(

注１）。ゆえに、

\begin{eqnarray}
f'(0) = \lim_{t \to +0} \frac{x^t - x^0}{t} = x^0 \log x = \log x
\end{eqnarray}

である。

\begin{eqnarray*}
\lim_{n \to \infty} n \left( \sqrt[n]{x}-1 \right) = \log x
\end{eqnarray*}

が示せた。なお、これを$\log x$の定義としてもよい。

注１）左側極限を考えないのは、$ x > 0 $という制約があるから納得できる。