Machinの公式の証明

Marchinの公式

\begin{equation*}
\frac{\pi}{4} = 4 \tan^{-1} \frac{1}{5} - \tan^{-1} \frac{1}{239}
\end{equation*}

を証明します。

ここで、$\tan^{-1} x$は、$\tan x$の逆数ではなく、逆関数を意味します。逆関数についてはこちらの記事を参考にしてください（クリック！）。

すなわち、

\begin{equation*}
y = \tan^{-1} x \Leftrightarrow x = \tan y
\end{equation*}

です。なお、$\tan^{-1} x$は主値をとるものとします。

必要な知識

- $\tan$の逆関数について（詳細）

- $\tan$の加法定理や倍角の式

$ \tan^{-1} \frac{1}{5} = p , \tan^{-1} \frac{1}{239} = q $ とおく。するとMarchinの公式は

\begin{equation*}
\frac{\pi}{4} = 4p-q
\end{equation*}
と書きかえられる。整理して、
\begin{equation*}
\frac{\pi}{4} + q = 4p
\end{equation*}
正接をとれば、
\begin{equation*}
\tan \left( \frac{\pi}{4} + q \right) = \tan 4p
\end{equation*}
となる。この式を証明すればMachinの公式が示せたことになる（注１）。
逆関数の意味を考えて、
\begin{eqnarray*}
p = \tan^{-1} \frac{1}{5}  & \Leftrightarrow & \tan p = \frac{1}{5}  \\
q = \tan^{-1} \frac{1}{239} & \Leftrightarrow & \tan q = \frac{1}{239}
\end{eqnarray*}
に注意すれば、
\begin{eqnarray*}
\tan \left( \frac{\pi}{4} +q \right) = \frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan q}{1-\tan \frac{\pi}{4} \tan q}
=\frac{1+\frac{1}{239}}{1-\frac{1}{239}}=\frac{120}{119}
\end{eqnarray*}
が分かる。倍角の公式を繰り返し用いて、
\begin{eqnarray*}
\tan 2p = \frac{2 \tan p}{1-\tan^2 p} = \frac {2×\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{25}} = \frac{5}{12}　\\
\tan 4p = \frac{2 \tan 2p}{1-\tan^2 2p} = \frac {2×\frac{5}{12}}{1-\frac{25}{144}} = \frac{120}{119}
\end{eqnarray*}
となり、題意は示せた。


（注１） 一般に、$ \tan A = \tan B  \Leftrightarrow A=B $は成立しない。しかし、ここでは主値をとると約束しているので、これが成立しているとしてよい。