\begin{equation*} \frac{\pi}{4} = 4 \tan^{-1} \frac{1}{5} - \tan^{-1} \frac{1}{239} \end{equation*}
を証明します。
ここで、\tan^{-1} xは、\tan xの逆数ではなく、逆関数を意味します。逆関数についてはこちらの記事を参考にしてください(クリック!)。
すなわち、
\begin{equation*} y = \tan^{-1} x \Leftrightarrow x = \tan y \end{equation*}
です。なお、\tan^{-1} xは主値をとるものとします。
必要な知識
- \tanの逆関数について(詳細)
- \tanの加法定理や倍角の式
\tan^{-1} \frac{1}{5} = p , \tan^{-1} \frac{1}{239} = q とおく。するとMarchinの公式は
\begin{equation*}
\frac{\pi}{4} = 4p-q
\end{equation*}
と書きかえられる。整理して、
\begin{equation*} \frac{\pi}{4} + q = 4p \end{equation*}
正接をとれば、
\begin{equation*} \tan \left( \frac{\pi}{4} + q \right) = \tan 4p \end{equation*}
となる。この式を証明すればMachinの公式が示せたことになる(注1)。
逆関数の意味を考えて、
\begin{eqnarray*} p = \tan^{-1} \frac{1}{5} & \Leftrightarrow & \tan p = \frac{1}{5} \\ q = \tan^{-1} \frac{1}{239} & \Leftrightarrow & \tan q = \frac{1}{239} \end{eqnarray*}
に注意すれば、
\begin{eqnarray*} \tan \left( \frac{\pi}{4} +q \right) = \frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan q}{1-\tan \frac{\pi}{4} \tan q} =\frac{1+\frac{1}{239}}{1-\frac{1}{239}}=\frac{120}{119} \end{eqnarray*}
が分かる。倍角の公式を繰り返し用いて、
\begin{eqnarray*} \tan 2p = \frac{2 \tan p}{1-\tan^2 p} = \frac {2×\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{25}} = \frac{5}{12} \\ \tan 4p = \frac{2 \tan 2p}{1-\tan^2 2p} = \frac {2×\frac{5}{12}}{1-\frac{25}{144}} = \frac{120}{119} \end{eqnarray*}
となり、題意は示せた。
(注1) 一般に、 \tan A = \tan B \Leftrightarrow A=B は成立しない。しかし、ここでは主値をとると約束しているので、これが成立しているとしてよい。
と書きかえられる。整理して、
\begin{equation*} \frac{\pi}{4} + q = 4p \end{equation*}
正接をとれば、
\begin{equation*} \tan \left( \frac{\pi}{4} + q \right) = \tan 4p \end{equation*}
となる。この式を証明すればMachinの公式が示せたことになる(注1)。
逆関数の意味を考えて、
\begin{eqnarray*} p = \tan^{-1} \frac{1}{5} & \Leftrightarrow & \tan p = \frac{1}{5} \\ q = \tan^{-1} \frac{1}{239} & \Leftrightarrow & \tan q = \frac{1}{239} \end{eqnarray*}
に注意すれば、
\begin{eqnarray*} \tan \left( \frac{\pi}{4} +q \right) = \frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan q}{1-\tan \frac{\pi}{4} \tan q} =\frac{1+\frac{1}{239}}{1-\frac{1}{239}}=\frac{120}{119} \end{eqnarray*}
が分かる。倍角の公式を繰り返し用いて、
\begin{eqnarray*} \tan 2p = \frac{2 \tan p}{1-\tan^2 p} = \frac {2×\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{25}} = \frac{5}{12} \\ \tan 4p = \frac{2 \tan 2p}{1-\tan^2 2p} = \frac {2×\frac{5}{12}}{1-\frac{25}{144}} = \frac{120}{119} \end{eqnarray*}
となり、題意は示せた。
(注1) 一般に、 \tan A = \tan B \Leftrightarrow A=B は成立しない。しかし、ここでは主値をとると約束しているので、これが成立しているとしてよい。
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