知っていると便利な極限その4 e^(1/x)/x^n→? (x→+0)

\begin{equation*} \lim_{x \to +0} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^n} \end{equation*}


がいくつになるか知っていますか？ 知っていると便利な極限なので求めておきましょう。今回はやや易しめです。

（本稿ではδ-ε論法は使わず高校生でも分かる求め方を扱います。）




必要な知識

- 高校で学習するレベルの極限の知識


置換して考える。$x=\frac{1}{y}$とおく。$x \to +0$は$y \to \infty$ と同じことであるから、

\begin{equation*}
\lim_{x \to +0} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^n} = \lim_{y \to \infty} \frac{e^{-y}}{y^{-n}}
=\lim_{y \to \infty} \frac{y^n}{e^y} = 0
\end{equation*}

となる。最後の等号については発散の速さを参考。

よって、

\begin{equation*} \lim_{x \to +0} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^n} = 0 \end{equation*}


である。