∫f(cos x) dx = ∫f(sin x) dx (0～π/2)の証明

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ において連続な関数$f$について

$$\begin{equation} \int_{0}^{\pi/2} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\pi/2} f(\cos x) dx \end{equation}$$

が成立します。これを証明します。高3生ならさほど難しくない証明なので、まずは自力でやってみてから、続きを読んでください。

必要な知識
- 三角関数の加法定理
- 高校数学程度の積分




$$\begin{eqnarray*} \sin \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) &=& \cos \theta \\ \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) &=& \sin \theta \\ \end{eqnarray*}$$

を用いる（これが納得いかない場合は加法定理を使えば、ただちに示せるので確認せよ）。

（１）の右辺を$x=\frac{\pi}{2}-\theta$で置換。
$$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi/2} f(\cos x) dx &=& \int_{\pi/2}^{0} f \left( \cos (\frac{\pi}{2} - \theta) \right) (- d\theta) \\ &=& \int_{0}^{\pi/2} f(\sin \theta) d\theta \end{eqnarray*}$$
定積分の結果は、積分変数によらないから、
$$\begin{equation*} \int_{0}^{\pi/2} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\pi/2} f(\cos x) dx \end{equation*}$$
が示せた。