√（素数）は無理数であることの証明

自然数$n$が素数であるならば、$\sqrt{n}$は無理数であることを証明します。

$\sqrt{2}$が無理数であることを証明しろという大学受験の定番の問題よりも一般性の高い問いです。


必要な知識
- 背理法

∫f(cos x) dx = ∫f(sin x) dx (0～π/2)の証明

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ において連続な関数$f$について

\begin{equation}
\int_{0}^{\pi/2} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\pi/2} f(\cos x) dx
\end{equation}

が成立します。これを証明します。高3生ならさほど難しくない証明なので、まずは自力でやってみてから、続きを読んでください。

必要な知識
- 三角関数の加法定理
- 高校数学程度の積分

sin x=2 を満たすx は??

\begin{equation*}
\sin x=2
\end{equation*}
をみたす$x$は存在するか。


という問いについて考えます。

\begin{equation}
-1 \leq \sin x \leq 1
\end{equation}
なので、方程式$\sin x=2$を満たす解は「ない」というのは間違いです。不等式(1)は$x$の定義域が実数の時にのみ有効です。この問いでは、$x$を実数とは限定していません（高校数学では文字の定義に断りがない場合は暗黙に実数と了解されてしまうことも多いですが…）。三角関数の定義域は複素数にまで拡張できます。

以下はオイラーの公式

\begin{equation*}
e^{ix}=\cos x + i \sin x
\end{equation*}
を既知とするので注意してください（オイラーの公式がなにものか知らなくても、形式的にこの公式を受け入れれば、理解できます）。

必要な知識
- オイラーの公式
- 対数関数
- 2次方程式の解の公式

sin,cos,tan以外の三角比とそれらを結ぶ関係式の図

高校でならう三角比は次のような三角形において

\begin{eqnarray*}
\sin \theta &=& \frac{b}{c} \\
\cos \theta &=& \frac{a}{c} \\
\tan \theta &=& \frac{b}{a}
\end{eqnarray*}

と定義される3つで、上から順に、正弦、余弦、正接などと呼ばれます。

しかし、直角三角形の辺の長さの比のとり方はこれ以外にもあります。

総乗記号Πの使い方

総和を表す記号シグマ$\sum$があるように、全て掛け合わせていく総乗を表す記号$\prod$が存在します。

必要な知識
- 総和記号を扱える。