0! = 1 の理由と0のn重階乗(0!,0!!,0!!! …)

階乗の定義に際して、\begin{equation*}
0! = 1
\end{equation*}

が約束されています。この理由は何でしょうか。また、

\begin{equation*}
0!!
\end{equation*}

はいくつになるのでしょうか。

必要な知識

- 階乗の定義

- 組み合わせ ${}_n \mathrm{C} _r$ の計算方法

高校数学で学ぶ演算子とその線形性

何らかの（数学的）処理を指示するものを「演算子」と呼びます。
たとえば、"＋"という演算子はふたつの数を足すことを意味し、"√"という演算子は根号の中の平方根を求めることを意味します。

今回は、高校数学で登場する演算子とその線形性について注目してみます。

必要な知識
- とくになし

√（素数）は無理数であることの証明

自然数$n$が素数であるならば、$\sqrt{n}$は無理数であることを証明します。

$\sqrt{2}$が無理数であることを証明しろという大学受験の定番の問題よりも一般性の高い問いです。


必要な知識
- 背理法

∫f(cos x) dx = ∫f(sin x) dx (0～π/2)の証明

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ において連続な関数$f$について

\begin{equation}
\int_{0}^{\pi/2} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\pi/2} f(\cos x) dx
\end{equation}

が成立します。これを証明します。高3生ならさほど難しくない証明なので、まずは自力でやってみてから、続きを読んでください。

必要な知識
- 三角関数の加法定理
- 高校数学程度の積分

sin x=2 を満たすx は??

\begin{equation*}
\sin x=2
\end{equation*}
をみたす$x$は存在するか。


という問いについて考えます。

\begin{equation}
-1 \leq \sin x \leq 1
\end{equation}
なので、方程式$\sin x=2$を満たす解は「ない」というのは間違いです。不等式(1)は$x$の定義域が実数の時にのみ有効です。この問いでは、$x$を実数とは限定していません（高校数学では文字の定義に断りがない場合は暗黙に実数と了解されてしまうことも多いですが…）。三角関数の定義域は複素数にまで拡張できます。

以下はオイラーの公式

\begin{equation*}
e^{ix}=\cos x + i \sin x
\end{equation*}
を既知とするので注意してください（オイラーの公式がなにものか知らなくても、形式的にこの公式を受け入れれば、理解できます）。

必要な知識
- オイラーの公式
- 対数関数
- 2次方程式の解の公式