なぜ逆関数はf^(-1)で表すのか、なぜy=xに対称なのか。

関数$y=f(x)$の逆関数は$y=f^{-1}(x)$と書かれました。逆関数をなぜ－１乗と書くのでしょうか。

また、逆関数ともとの関数はなぜ$y=x$に対称なのでしょうか。

本稿では、

１．逆関数の定義のおさらい

２．逆関数を$f^{-1}$乗と書く理由の説明

３．逆関数ともとの関数が$y=x$に対して対称であることの証明

を扱います。

逆関数という言葉は数学IIIで学習するものですが、本稿は数学IIIが未習のひとでも理解できます。

必要な知識

- 関数を$y=f(x)$と書くことになれていること

絶対値を含む関数 y=f(|x|),|f(x)|,|f(|x|)|

絶対値を含む関数が苦手な人が多いです。適当な関数$y=f(x)$に対して、

$$\begin{equation*} y=|f(x)| \end{equation*}$$

がどんな形になるか即答できる人は多いですが、

$$\begin{equation*} y=f(|x|) \end{equation*}$$

がどんな形になるか即答できる高校生は少ないです。さらに

$$\begin{equation*} y=|f(|x|)| \end{equation*}$$

はどういう形になるでしょう。

本稿ではこうした絶対値を含む関数を見てみます。



必要な知識
- 実数の絶対値の意味
- 三角関数のグラフの形

実数の絶対値と複素数の絶対値の根本的な違い

先日の記事でも紹介したように、虚数同士の大小を（私たちのよく知る意味においては）比較することはできません（詳細）。一方で、虚数の絶対値は定義することができます。しかし、その扱いには注意が必要です。

問．$|z-2|=1$を満たす複素数$z$を求めよ。

これに対して、ある学生は以下のように考えました。

まずは絶対値記号をはずして
$$\begin{equation*} z-2=\pm1 \end{equation*}$$
より、
$$\begin{equation*} z=1,3 \end{equation*}$$
実はこれは間違いです。どこがおかしいか説明できますか。

本稿では、

１．複素平面についておさらい
２．複素数の絶対値の定義を納得する
３．実数の絶対値と複素数の絶対値の根本的な違いを指摘する
４．この問いに対する正しい答えを導く

ことを行います。

必要な知識
- 実数の絶対値の定義や絶対値記号の外し方
- 複素数と虚数の定義(詳細)
- 円の方程式$x^2+y^2=r^2$

相加・相乗・調和平均による評定と学生の負担

問．進級するためには、中間試験と期末試験の平均点が50点以上でなければならない。ある学生の中間試験の点数は$x$点だったとする。彼が無事に進級するためには、期末試験で何点とればよいでしょうか（試験は100点満点とする）。

という問いについて考えます。単に「平均」といえども、その種類はたくさんあります。成績で平均をつけるとしたら相加平均をとるに決まっているだろう！と思う人が多いと思いますが、自分の大学では一部の科目において成績評定は相乗平均によって評価されます。

先日の記事では、「相加平均」「相乗平均」「調和平均」を紹介し、それらに成立する不等式を紹介しました（詳細）。これによると、同じ二つの値において、調和平均がもっとも小さく、相加平均がもっとも大きくなります。相加平均を採用した場合とそれ以外を採用した場合の学生の負担の差について見てみましょう。

必要な知識

- 相加・相乗・調和平均の関係（詳細）
- 相加平均・相乗平均・調和平均の定義

相加・相乗・調和平均の関係

二つの正の値$a,b$において相加平均（算術平均）は
$$\begin{equation*} \frac{a+b}{2} \end{equation*}$$
と定義され、相乗平均（幾何平均）は
$$\begin{equation*} \sqrt{ab} \end{equation*}$$
で定義されることは高校の教科書に載っています。また、あまり知られていませんが、調和平均というものも存在し、これは
$$\begin{equation*} \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \end{equation*}$$
で定義されています。この調和平均は、平均の速さを求める問題や、ばね定数の直列合成、並列回路における抵抗値の計算などにおいて利用されています。調和平均がどこで用いられているかは稿を改めます。

相乗平均の方が相加平均よりも小さくなるという「相加・相乗平均の関係」は知られていますが、調和平均を含めた「相加・相乗・調和平均の関係」というものがあります。

結論を書けば、
$$\begin{equation*} 調和平均 \leq 相乗平均 \leq 相加平均 \end{equation*}$$
となるのですが、本稿ではこの関係を証明します。

必要な知識
- 簡単な不等式の証明
- 相加・相乗平均の関係
- 3次関数の増減表