絶対値を含む関数 y=f(|x|),|f(x)|,|f(|x|)|

絶対値を含む関数が苦手な人が多いです。適当な関数$y=f(x)$に対して、

$$\begin{equation*} y=|f(x)| \end{equation*}$$

がどんな形になるか即答できる人は多いですが、

$$\begin{equation*} y=f(|x|) \end{equation*}$$

がどんな形になるか即答できる高校生は少ないです。さらに

$$\begin{equation*} y=|f(|x|)| \end{equation*}$$

はどういう形になるでしょう。

本稿ではこうした絶対値を含む関数を見てみます。



必要な知識
- 実数の絶対値の意味
- 三角関数のグラフの形



まずは、代数的な方程式を採用する。関数$f(x)$を
$$\begin{equation*} f(x) = x^3-3x+2 \end{equation*}$$
とする。これのグラフは次の通り。

微分して極値を求めれば簡単にグラフはかけるはずだ。

次に、$|f(x)|$を考える。つまり、
$$\begin{equation*} y = |x^3-3x+2| \end{equation*}$$
をグラフにする。任意の実数$a$に関して$|a|>0$であることをヒントに

となることが納得できるだろう。$y$は負をとりえないので、$y=0$において反転されたようになる。

次に、$f(|x|)$を考える。つまり、
$$\begin{equation*} y = |x|^3-3|x|+2 \end{equation*}$$
を考えるということだ。これは$x$に絶対値の同じ正の数と負の数をいれてみるとわかる。たとえば、$+2$をいれれば、
$$\begin{equation*} |2|^3-3|2|+2 = 8 - 6 + 2 = 4 \end{equation*}$$
で$-2$をいれれば、
$$\begin{equation*} |-2|^3-3|-2|+2 = 8 - 6 + 2 = 4 \end{equation*}$$
である。あきらかに、任意の$a$に関して、$f(|a|)=f(|-a|)$であるから、$x=-a$のときと$x=a$のときで値は同じはず。つまり、$y$軸に対して対称なグラフになるはずである。実際にグラフにしてみると、次のようになる。

次に$|f(|x|)|$について考える。これはどうなるだろう？
難しく考える必要はなく、$f(|x|)$としたときの効果（$y$軸で対称）と$|f(x)|$としたときの効果($x$軸で反転)の両方が生じる。ただし、今回は$f(|x|)=|f(|x|)|$がたまたま成立するのであまり面白くない。

そこで、もう少し複雑な関数$f(x)=\sin x + \cos x$においても同じことが言えるのを確かめてみよう。まずは、$y=f(x)$をグラフにすると次の通り。

これは三角関数を合成すれば、コンピュータに頼らずとも作図できるはずだ。

次に、この関数全体に絶対値記号をつけて

$$\begin{equation*} y=|\sin x + \cos x| \end{equation*}$$

をグラフにすると、次のようになる。

確かにx軸で反転している。続いて、$f(|x|)$、すなわち


$$\begin{equation*} y=\sin |x| + \cos |x| \end{equation*}$$ をグラフにすると

となり、やはりy軸に対称である。

次に$|f(|x|)|$について考える。これはどうなるだろう？
$f(|x|)$としたときの効果（$y$軸で対称）と$|f(x)|$としたときの効果（$x$軸で反転）の両方が生じるのだから、


$$\begin{equation*} y=| \sin |x| + \cos |x| | \end{equation*}$$ をグラフにしてみると次のようになる。

確かに$x$軸で反転され、$y$軸対称となる。

まとめ

関数$y=|f(x)|$は$y=f(x)$を$x$軸で反転させたもの

関数$y=f(|x|)$は$y=f(x)$を$y$軸対称にしたもの

関数$y=|f(|x|)|$は$y=f(x)$を$x$軸で反転させ、$y$軸対称にしたもの

という結論が導けた。