発散の速さについて

$\log x,x^n,e^x,x^x$といった関数はいずれも$x \rightarrow \infty$ で無限大に発散することが知られている。しかし、同じ無限大でも、「発散の速さ」に差がある。ここではグラフを見て、発散の速度の違いを認識する。


必要な知識
-高校数学程度の極限に関する知識




これらの関数をグラフにプロットして発散の速度の差を見る。まずは、$\log x,x^3,e^x,x^x$を比較しよう(ここで$n=3$を採用して$x^3$を選んだことに特に意味はない。他の指数を選んでも何も問題ない)。

あきらかに無限大への近付き方に違いがあることが分かる。$\log x$は非常にゆっくりと無限大に近付く一方で、$e^x$はより速く無限大に近付く。

つぎに、$x^x$と$e^x$をプロットしてみると、

となり、$e^x$よりも$x^x$の方が早く発散することが分かった。ちなみに、$x!$も$x \rightarrow \infty$ で無限大に発散するが、収束の速さはどうなっているだろう。$x!$は離散的(ガンマ関数を導入して連続にすることもできるが、ここではしない)なので、計算した値を比較してみると

となる。どうやら、$x!$の発散の速度は$e^x$より速く、$x^x$より小さいと推測できる。

以上を整理すれば、発散の速さは
\begin{align}
\log x \ll x^n \ll e^x \ll x! \ll x^x
\end{align}
と推測できる(もちろん、きちんと証明するには以上の議論では不十分である。)。

なお、$x^{x^{x^x}}$などはさらに速く発散する。$x^{x^{x^x}}$の意味などについては先日の記事を参考。

*** 補足
以上の発散の議論をきちんとしたい場合は、次の命題を用いればよい。
命題：一変数の単調増加関数$f(x),g(x)$において、適当な実数よりも大きいすべての$x$に関して、$f'(x)>g'(x)$が成立しているとき、関数$f(x)$は関数$g(x)$よりも発散が早い。
この命題を「発散の速さ」の定義としても良いだろう。

なお、これとは別に極限の比をとって発散の高位さが定義される。