大きな数に関するトピック１ －トランプ52枚を全部並び替えたら…－

あなたはとあるゲームに負けて、罰ゲームとして、次の2つのうちどちらかを実行しなければなりません。どちらを選択しますか。

• 新宿駅で裸踊り
• トランプを全通り並び替える

人通りの多いところで裸踊りだなんて絶対にイヤですよね。では、2.を選択しますか？


必要な知識
- 高校数学で学習する場合の数に関する知識
- 大きな数を指数で表示する能力
- 指数法則





一般的なトランプ52枚の並び替えにかかる時間を考えよう。52枚のカードには同じカードがないので、

\begin{eqnarray*} {52!=52×51×50×\dots×2×1} \end{eqnarray*}

通りの並び替えが考えられます。さて、1回カードを並び替えるのにかかる時間を1秒と仮定すれば、全通りの並び替えにかかる時間は$52!$秒となります。この$52!$という数字を計算してみると、

\begin{eqnarray*} 52! \simeq 8×10^{67} \end{eqnarray*}

となります。ちなみにgoogleで$52!$と検索をかけると計算してくれます。

$10^{67}$がどれくらい大きい数なのか、考えてみましょう。

1時間は3600秒、1日は3600秒×24=86400秒、1年は86400秒×365=31536000秒

1年間はおおよそ$ 3×10^{7}$秒だから、$10^{67}$秒が果てしなく長い年月だということが分かってきました。ところで、地球の年齢は47億才と言われています。1億は10の8乗であるから

\begin{eqnarray*} { 3×10^{7}×47×10^{8}}秒  \end{eqnarray*}

となり、計算すればおおよそ、$ 1×10^{17} $秒となる。まだまだ$10^{67}$には及ばないですね。では、宇宙の年齢と比較してみましょう。宇宙の年齢は、137億才と言われていますから、

\begin{eqnarray*} { 3×10^{7}×137×10^{9}}秒  \end{eqnarray*}

を計算して、おおよそ$4×10^{18}$秒となります。まだまだ$10^{67}$には遠く及ばない…。

まとめると…

宇宙の年齢は$4×10^{18}$秒
52枚のカードを全通り並び替えるのにかかる時間は$8×10^{67}$秒



もう一度、お尋ねします。あなたは、新宿駅で裸踊りするのと、52枚のカードを全通り並び替えるのと、どちらを選びますか？