高校数学の発展: 高次代数方程式の共役解

一般に$n$次の実数係数の代数方程式
\begin{equation}
a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0=0　(a_n \neq 0)
\end{equation}
において、複素数$\alpha$がこの方程式の解ならば、その共役複素数$\overline{\alpha}$もこの方程式の解になる。
この定理を証明します。

必要な知識
- 共役複素数の計算法則

準備

複素数$v,w$に関して次の計算規則が成立する。

\begin{equation*}
\overline{v+w} = \overline{v}+\overline{w} \\
\overline{v w} = \overline{v} \ \overline{w}
\end{equation*}

これから、
\begin{eqnarray*}
\overline{v^n}=\overline{v×v×\dots×v}&=&\overline{v}×\overline{v}×\dots×\overline{v}\\
&=& \left( \overline{v } \right)^n
\end{eqnarray*}
が言える。また、定義より明らかに、実数$x$について、
\begin{eqnarray*}
\overline{x}=x
\end{eqnarray*}
が成立する。

証明

実数係数の代数方程式
\begin{equation}
a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0=0　(a_n \neq 0)
\end{equation}
が$x=\alpha$を解にもつとする。すなわち、いま
\begin{equation}
a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\dots+a_2\alpha^2+a_1\alpha+a_0=0　
\end{equation}
が満たされている。次に両辺の複素共役を考える。準備で復習した計算規則より、
\begin{equation}
\overline{a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\dots+a_2\alpha^2+a_1\alpha+a_0}=\overline{0}
\end{equation}
も成立すると考えてよい。ここで、左辺は
\begin{eqnarray}
左辺&=&\overline{a_n \alpha^n}+\overline{a_{n-1}\alpha^{n-1}}+\dots+\overline{a_2\alpha^2}+\overline{a_1\alpha}+\overline{a_0} \\
&=&\overline{a_n}\left(\overline{\alpha}\right)^n+\overline{a_{n-1}}\left(\overline{\alpha}\right)^{n-1}+\dots+\overline{a_2}\left(\overline{\alpha}\right)^2+\overline{a_1}\left(\overline{\alpha}\right)+\overline{a_0}
\end{eqnarray}
となる。ここで、方程式の係数は全て実数であったから、
\begin{eqnarray}
a_n\left(\overline{\alpha}\right)^n+a_{n-1}\left(\overline{\alpha}\right)^{n-1}+\dots+a_2\left(\overline{\alpha}\right)^2+a_1\left(\overline{\alpha}\right)+\overline{a_0}=0
\end{eqnarray}
となる。この式は、$\overline{\alpha}$の解であることを示している。

※虚数係数の方程式においてはこの定理は成立しません。

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