高校数学の発展: 連立方程式の解の公式

中学では2次方程式の解の公式を学習します。3次や4次の代数方程式の解の公式を知っている人も居ると思います。

今回は、2元1次連立方程式の解の公式を求めます。

必要な知識
- 中学3年生までの数学

未知数が$n$個の連立方程式を$n$元連立方程式と呼ぶ。

連立方程式の中には、
\begin{eqnarray*} \begin{cases} 2x + 3y = 4 & \\ 4x + 6y = 8 & \end{cases} \end{eqnarray*}
のように解が無数にあるもの（不定という）や、
\begin{eqnarray*} \begin{cases} 12x + 3y = 1 & \\ 4x + y = 2 & \end{cases} \end{eqnarray*}
のように解がもとまらないもの（不能という）もあるが、今回は、こうした連立方程式については考えない。

さて、2元1次連立方程式
\begin{eqnarray} \begin{cases} ax + by = c & \\ dx + ey = f & \end{cases} \end{eqnarray}
は解がきちんと定まる連立方程式であるとする。この方程式は、
\begin{eqnarray} \begin{cases} adx + bdy = cd & \\ adx + aey = af & \end{cases} \end{eqnarray}
と書き直せて、辺々を引けば、
\begin{eqnarray*}
(bd-ae)y = cd - af
\end{eqnarray*}
が求まる。$y$について解けば（注１）、
\begin{eqnarray*}
y = \frac{cd - af}{bd-ae}
\end{eqnarray*}
となる。同様にして(1)を
\begin{eqnarray} \begin{cases} aex + bey = ec & \\ bdx + bey = bf & \end{cases} \end{eqnarray}
と書きかえて辺々を引けば、
\begin{eqnarray*}
(ae-bd)x = ec - fb
\end{eqnarray*}
が求まる。$x$について解けば(注1)、
\begin{eqnarray*}
x = \frac{ec - fb}{ae-bd}
\end{eqnarray*}
がもとまる。整理すれば、2元1次連立方程式
\begin{eqnarray*} \begin{cases} ax + by = c & \\ dx + ey = f & \end{cases} \end{eqnarray*}
の解は
\begin{eqnarray*}
x = \frac{ce - bf}{ae-bd}　,　y = \frac{af-cd}{ae-bd}
\end{eqnarray*}
である。これが2元1次連立方程式の解の公式である。

たとえば、連立方程式
\begin{eqnarray*} \begin{cases} x + y = 6 & \\ 2x + 3y = 17 & \end{cases} \end{eqnarray*}
においてこの公式を用いれば、係数を見るだけで解が

\begin{eqnarray*}
x = \frac{18-17}{3-2}=1　,　y = \frac{17-12}{3-2}=5
\end{eqnarray*}

と求まる。

同様にして、3元1次連立方程式の解の公式も求められる。ただし、次節で紹介する線形代数学を用いずに求めるのは面倒であり、また公式そのものも、我々のもっている知識では生産性のない記述しかできないため、ここでは触れない。

注１）優秀な読者であれば、$ae \neq bd$を確かめずにこれをしてよいのかと異議を唱えるだろう。実は、連立方程式の解が求まる場合は$ae \neq bd$が保証されている。ここでそれを示すことができず大変無念ではあるが、詳細は線形代数学を学んでもらいたい。

線形代数学へ

実はこの解の公式は、理工系の学生が大学初年度に学ぶ線形代数学のクラメルの式と呼ばれる公式の特殊な場合である。線形代数学というのは、連立方程式の解法の研究から発生した学問である。線形代数学では、行列や行列式と呼ばれるものを使って、より未知数の多い多元連立方程式の解の公式を導く。ここで導いた2元1次連立方程式の解の公式も行列や行列式というものを導入することによってよりスマートに求めることができる。

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