Processing math: 100%

2015年3月3日火曜日

累乗のタワー表示

\begin{equation*} 3^{3^3} \end{equation*}

はいくつだろうか。729になるだろうか?


必要な知識
- 中学で学習する程度の指数




\begin{equation*} 2^{3^4} \end{equation*}
というのは、 2^3 4乗したものではなく、23^4乗したのものを意味する。
つまり
\begin{equation*} 2^{3^4} = 2^{ \left(3^4 \right)} \\ 2^{3^4} \neq \left( 2^3 \right)^4 \end{equation*}
であり、右から計算されることに注意されたい。よって、
\begin{equation*} 3^{3^3}=3^{27} = 7625597484987 \end{equation*}
である。

こうした数の具体的な大きさを見てみよう。
次の表は、x!,x^x,x^{x^x}を計算した結果である。空欄は計算が技術的にできなかった箇所。



次のグラフはy=x^xy=x^{x^x}をプロットしたものである。




次のグラフはy=x^{x^x} y=x^{x^{x^x}} をプロットしたものである。


いずれも凄まじさが分かる。


タワー表記

\begin{equation*} 3^{3^{3^{3^3}}} \end{equation*}
と書いていくのは大変なので、次のような表記(タワー表記と呼ばれる)をすることもある。

\begin{eqnarray*} 3 \uparrow\uparrow2 &=& 3^3=27 \\ 3 \uparrow\uparrow3 &=& 3^{3^3}=3^{27}=7625597484987 \\ 3 \uparrow\uparrow4 &=& 3^{3^{3^3}}=3^{3^{27}}=3^{7625597484987} \\ \end{eqnarray*}

なお、この3 \uparrow\uparrow4という数がいかに大きいかはこちらを参考(クリック)。

参考:Wolfram

0 件のコメント:

コメントを投稿

texが使えます。