はいくつだろうか。729になるだろうか?
必要な知識
- 中学で学習する程度の指数
\begin{equation*} 2^{3^4} \end{equation*}
というのは、 2^3 を4乗したものではなく、2を3^4乗したのものを意味する。
つまり
\begin{equation*} 2^{3^4} = 2^{ \left(3^4 \right)} \\ 2^{3^4} \neq \left( 2^3 \right)^4 \end{equation*}
であり、右から計算されることに注意されたい。よって、
\begin{equation*} 3^{3^3}=3^{27} = 7625597484987 \end{equation*}
である。
こうした数の具体的な大きさを見てみよう。
次の表は、x!,x^x,x^{x^x}を計算した結果である。空欄は計算が技術的にできなかった箇所。
次のグラフはy=x^xとy=x^{x^x}をプロットしたものである。
次のグラフはy=x^{x^x}と y=x^{x^{x^x}} をプロットしたものである。
いずれも凄まじさが分かる。
タワー表記
\begin{equation*} 3^{3^{3^{3^3}}} \end{equation*}と書いていくのは大変なので、次のような表記(タワー表記と呼ばれる)をすることもある。
\begin{eqnarray*} 3 \uparrow\uparrow2 &=& 3^3=27 \\ 3 \uparrow\uparrow3 &=& 3^{3^3}=3^{27}=7625597484987 \\ 3 \uparrow\uparrow4 &=& 3^{3^{3^3}}=3^{3^{27}}=3^{7625597484987} \\ \end{eqnarray*}
なお、この3 \uparrow\uparrow4という数がいかに大きいかはこちらを参考(クリック)。
参考:Wolfram
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