大きな数に関するトピック5 -3^3^3^3と10^80の比較。宇宙の全原子数との比較

指数のタワー表記の記事（詳細）において、
\begin{equation*}
3 \uparrow\uparrow4 = 3^{3^{3^3}}=3^{3^{27}}=3^{7625597484987} \\
\end{equation*}
という数が出てきました。指数のタワー表記がいかに簡単に膨大な数を表現できるかを実感してもらうために、この数がどれくらいの大きさのものなのかを考えます。

今まで、アボガドロ定数や地球の表面積、地球や宇宙の年齢と数を比較してきましたが、今回は宇宙にある（観測可能な）全原子数$10^{80}$と比較します。

必要な知識
- 指数のタワー表記(詳細)
- 常用対数の扱い

当記事は、現在 iPhone からの閲覧で数式が一部、正しく表示されないとの報告を受けて対処中です。ご迷惑をおかけしております。



まずは、$3^{7625597484987}$を10のべきに近似する。
\begin{equation*}
3^{7625597484987} = 10^x
\end{equation*}
として、両辺を底が10の対数をとれば、
\begin{align}
7625597484987 \log_{10} 3 = x
\end{align}
となる。$\log_{10} 3 \simeq 0.47$であるから、
\begin{align}
x \simeq 7625597484987 × 0.47 \simeq 4×10^{12}
\end{align}
よって、
\begin{equation*}
3 \uparrow\uparrow4 = 3^{7625597484987} \simeq 10^{4×10^12} = 10^{4000000000000}
\end{equation*}
である。

宇宙論によると、（観測可能な）宇宙内に存在する原子数はおよそ$10^{80}$である。それに対して、$3 \uparrow\uparrow4 \simeq 10^{4000000000000} $であるから指数のタワー表記の凄まじさが良く分かると思う。

言い換えるならば、$3 \uparrow\uparrow4 $という数字を指数を使わずにまともに書き下す（注１）としたら、宇宙に存在する全原子をインクにかえて、1粒子で1桁かけると仮定しても到底書き尽くせない。

指数のタワー表記、おそるべし。


（注１）もちろん、それができるほどの面積があったとしたらの話だが…。


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