高校数学の発展: 知っていると便利な極限その1 nのn乗根→? (n→∞)

\begin{equation*}
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}
\end{equation*}

がいくつになるか知っていますか？
知っていると便利な極限なので求めておきましょう。
（本稿ではδ-ε論法は使わず高校生でも分かる求め方を扱います。）

必要な知識
- 高校で学習する程度の極限
- はさみうちの原理
- 二項定理

準備

補題として、$r>1$と2以上の自然数$n$において、
\begin{equation*}
r^n > \frac{(r-1)^2}{4}n^2　
\end{equation*}
を証明する（こんなの簡単に証明できるわ！っていう人は飛ばしてくださって構いません）。

二項定理
\begin{equation*}
(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k x^{n-k}y^k
\end{equation*}
において左辺の底を$r=1+(r-1)$で書きかえる。すると、

\begin{eqnarray*}
\{ 1+(r-1) \} ^n &=& \sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k 1^{n-k}(r-1)^k \\
r^n &=& \sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k (r-1)^k \\
&=& 1 + n(r-1) + \frac{n(n-1)(r-1)^2}{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3×2×1}(r-1)^2+\dots+(r-1)^n
\end{eqnarray*}
ここで、$n \geq 2$かつ$r>1$であるので、右辺の全ての項は正である。ゆえに、
\begin{eqnarray*}
r^n > \frac{n}{2}(n-1)(r-1)^2
\end{eqnarray*}
さらに、$n \geq 2$において、$n-1 \geq n/2$であることに注意すれば、
\begin{eqnarray*}
r^n > \frac{(r-1)^2}{4}n^2
\end{eqnarray*}
である。よって、補題を示すことができた。

証明

$n \geq 2$のとき、$ 1 < n $の両辺の$n$乗根をとって、$1^{1/n}< n^{1/n}$となる。1は何乗しても1なので、結局、$1< n^{1/n}$である。だから、0より大きい適当な$a_n$を用いて
\begin{eqnarray*}
\sqrt[n]{n} = 1 + a_n　(a_n > 0)
\end{eqnarray*}
とおける。ここで、$r=1+a_n$とおけば、
\begin{eqnarray*}
r^n = (1 + a_n)^n = \left( \sqrt[n]{n} \right)^n = n > n^2 \frac{a_n^2}{4}
\end{eqnarray*}
となる。最後の不等号は補題を用いた。
\begin{eqnarray*}
n &>& n^2 \frac{a_n^2}{4}　\\
a_n^2 &<& \frac{4}{n} \\
\therefore & 0 & \leq a_n \leq \frac{2}{\sqrt{n}}
\end{eqnarray*}

はさみうちの原理より、
\begin{equation*}
\lim_{n \to \infty} a_n = 0
\end{equation*}
よって、
\begin{equation*}
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1
\end{equation*}
となり、無事に極限値が求まった。