\begin{equation*}
z^n=r
\end{equation*}
という$z$の関する方程式を考えます。
実はこの解を複素平面上にプロットすると面白いことが起こります。
複素平面の復習はこちら
必要な知識
- 複素平面（詳細）
- 複素数範囲での因数分解
以下では、因数分解の公式
\begin{eqnarray*}
a^3+b^3 &=& (a+b)(a^2-ab+b^2) \\
a^3-b^3 &=& (a-b)(a^2+ab+b^2)
\end{eqnarray*}
を断りなしに用いる。この公式を知らない人は右辺を展開して左辺になることを確かめよ。
以下、簡単のために、$r=1$として考える。まずは、$n=3$の場合を見てみよう。与えられた方程式は、
\begin{eqnarray*}
&& z^3=1\\
\Leftrightarrow && z^3-1=0 \\
\Leftrightarrow && (z-1)(z^2+z+1)=0
\end{eqnarray*}
となり、解の公式を用いて、
\begin{eqnarray*}
z=1,\frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}
\end{eqnarray*}
となる。これを複素平面上にプロットすれば、
となる。赤い線は半径1の複素平面上の円である。青いプロットが、$z=1,\frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$の三点である。さて、この青いプロットを線でつなぐと
という、半径１の円に内接する正三角形が現れる。次に、$n=4$の場合を見てみよう。
\begin{eqnarray*}&& z^4=1\\
\Leftrightarrow && z^4-1=0 \\
\Leftrightarrow && (z^2-1)(z^2+1)=0 \\
\Leftrightarrow && (z-1)(z+1)(z-i)(z+i)=0
\end{eqnarray*}
よって$z=\pm1,\pm i$であり、同様に複素平面上にプロットして線でつなぐと
という、半径1の円に内接する四角形が現れる。次に、$n=6$の場合を見てみよう。
\begin{eqnarray*}&& z^6=1\\
\Leftrightarrow && z^6-1=0 \\
\Leftrightarrow && (z^3-1)(z^3+1)=0 \\
\Leftrightarrow && (z-1)(z+1)(z^2-z+1)(z^2+z+1)=0
\end{eqnarray*}
解の公式を用いて、$z=\pm 1, \frac{\pm 1 \pm \sqrt{3}i}{2}$(複合任意)これらをプロットして直線を引けば、
と正六角形が現れる。
このように、zに関する方程式$z^n=r$の解を複素平面上にプロットすると、半径|r|の円に内接する正$n$角形になる。これを応用して、因数分解をすることなしに解がいくつになるか探し求めることができる。
たとえば$z^8=1$という方程式は複素平面上の半径1の円に内接する正8角形であるから、計算するまでもなく、解をプロットすると、
となることが分かる。
このことのきちんとした証明はオイラーの公式や極形式を導入することで簡単にすることができる。
研究
$r$が負の時も同じように半径|r|に内接する正$n$角形になることを納得せよ。
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