虚数の虚数乗は？

虚数の虚数乗はどうなるでしょう。高校生からよくされる質問です。

$$\begin{align} i^i=？ \end{align}$$


必要な知識
- オイラーの公式
- 実数のべき乗が$x^\alpha=e^{\alpha \log x}$で定義されていること




結論をかくと、
$$\begin{align} i^i=e^{-\frac{\pi}{2}} \end{align}$$
となる。

準備―複素数の対数関数の定義

一般の複素数$Z$に関して、$\omega = \log Z$を指数関数の逆関数として定義する。一般の複素数$Z$を極形式で書くことを考えれば、複素数の周期性から
$$\begin{align} Z=re^{i\theta}=re^{i(\theta +2n\pi )} \end{align}$$
と書くことができて、対数関数の性質に気をつければ
$$\begin{eqnarray*} \omega=\log Z= \log re^{i(\theta +2n\pi)} = \log r + i\theta + 2n\pi i \end{eqnarray*}$$
とかける。いずれの式も、$n \in \mathbb{Z}$である。ここで最右辺第一項は実数の対数であり、高校の教科書で既に定義されている。このようにして、複素数の対数関数は定義できた。ただし、最右辺第三項により、無限に$\omega$が定まる。

そこで、$-\pi < \theta \leq \pi$とし、n=0とした場合の $\omega$の値を主値と呼び、$\mathrm{Log}\ Z$と書く。

証明

複素数の世界で、べき乗は実数の場合と同様に(実数の場合、べき乗は$x^\alpha=e^{\alpha \log x}$と定義されている)次のように定義される。
$$\begin{eqnarray*} z^{\alpha}=e^{a \log z} \end{eqnarray*}$$
ここで、$\alpha$は一般の複素数、$z$は0でない複素数とした。この定義に$z=\alpha=i$を代入して、
$$\begin{eqnarray*} i^{i}&=&e^{i \log i}\\ &=&e^{i\log (e^{\pi i/2+2n\pi})} \\ &=&e^{-\pi/2-2\pi n}　(n \in \mathbb{Z}) \end{eqnarray*}$$

よって、
$$\begin{eqnarray*} i^i=e^{-\frac{\pi}{2}},e^{-\frac{5\pi}{2}},e^{-\frac{9\pi}{2}},\dots \end{eqnarray*}$$
と無数にあることが分かる。主値をとれば

$$\begin{eqnarray*} i^i=e^{-\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$$

となる。いずれにせよ、$i^i$が実数になるというのは興味深い。

ちなみに、左辺は
$$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{\pi}{2}}=0.207879576... \end{eqnarray*}$$
と無限に続く小数である。

よくある誤った証明

インターネット上では、以下の証明が出回っている。
オイラーの公式

$$\begin{align} e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta \end{align}$$
に
$$\begin{align} \theta=\frac{\pi}{2} \end{align}$$
を代入すれば、
$$\begin{eqnarray*} e^{i\frac{\pi}{2}}&=&\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\\&=&i \end{eqnarray*}$$
となる。両辺を$i$乗して、
$$\begin{eqnarray} e^{-\frac{\pi}{2}}=i^i \end{eqnarray}$$
よって、$i^i$は求められた。

以上の証明は間違い。というのも、指数が複素数の場合、一般には指数法則は成立しない。よって、両辺を気安く$i$乗するのが(今回はたまたま問題なかっただけで)よくない。