知っていると便利な極限その2 (n!)^(1/n)→? (n→∞)

$$\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} \end{equation*}$$

がいくつになるか知っていますか？
知っていると便利な極限なので求めておきましょう。


必要な知識
- 高校で学習する程度の極限
- はさみうちの原理
- 総乗記号Πの扱い






$n$は自然数とする。

$(n-k)(k+1)$において、$k$を$0$から$n-1$まで動かすと$(n!)^2$になることに注目する。総乗記号を用いれば

$$\begin{eqnarray*} (n!)^2=(n!)(n!) &=& \prod_{k=0}^{n-1} (n-k)(k+1)\\ &=& n×1×(n-1)×2×(n-2)×3×\dots×1×n \end{eqnarray*}$$

ということでる。

さて、ここで、
$$\begin{eqnarray*} (n-k)(k+1)-n &=& nk+n-k^2-k-n \\ &=&k(n-k+1) \end{eqnarray*}$$

を考える。$k$は$0$から$n-1$まで動くので$n-k+1 \geq 0$と、$k \geq 0$を考えれば

$$\begin{eqnarray*} (n-k)(k+1)-n=k(n-k+1) \geq 0 \end{eqnarray*}$$
であるから、
$$\begin{eqnarray*} (n-k)(k+1) \geq n \end{eqnarray*}$$
である。ここで、少し発想が難しいが
$$\begin{eqnarray*} \prod_{k=0}^{n-1} (n-k)(k+1) \geq \prod_{k=0}^{n-1} n \end{eqnarray*}$$
を考える(この記号の計算方法はこちらを参考)。左辺は上で見たように$(n!)^2$であり、右辺は$n$を$n$回かけることになるので、
$$\begin{eqnarray*} (n!)^2 \geq n^2 \end{eqnarray*}$$
となる。これの$2n$乗根をとれば、
$$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n!} \geq \sqrt{n} \end{eqnarray*}$$
ここで、
$$\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} = \infty \end{equation*}$$
より、 $$\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} = \infty \end{equation*}$$
である。

補足

本稿では次の命題を証明なしで用いた。
命題：2つの数列${a_n},{b_n}$において
$$\begin{equation*} a_n \leq b_n　(\forall n), \lim_{n \to \infty} a_n = \infty  \Rightarrow \lim_{n \to \infty} b_n = \infty \end{equation*}$$ が成り立つ。


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